Для доступа к данной книге необходима авторизация

Логин: пароль Запрос доступа

Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике

  

Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. «Едиториал УРСС», 2001 г. - 320 с.

Настоящая монография является одним из классических обзоров по хаосу. Автор проводит читателя от традиционных курсов по дифференциальным уравнениям и классической механике к быстро развивающимся областям нелинейной динамики и хаоса, представляя при этом «старые» и «новые» понятия с единой точки зрения. В книге удачно сочетается одновременное рассмотрение проблем нелинейной динамики и хаоса с одной стороны, и вопросов интегрируемости динамических систем с другой стороны. Большое внимание уделяется хаосу в гамильтоновых системах, показываются взаимосвязи между классическим хаосом и соответствующим квантовомеханическим поведением систем, а также изучаются интегрируемые уравнения, обладающие солитонными решениями. Материал излагается с использованием современных геометрических и аналитических методов.

Для студентов математических, физических и инженерных специальностей, а также всех, интересующихся проблемами хаоса в динамических системах.



Оглавление

Предисловие
Глава 1. Динамика дифференциальных уравнений
1.1.б. Затухающий осциллятор
1.2. Интегрирование нелинейных уравнений второго порядка
1.2.а. Эллиптические функции Якоби
1.2.б. Эллиптические функции Вейерштрасса
1.2.в. Периодическая структура эллиптических функций
1.2.г. Уравнение маятника
1.3. Динамика в фазовой плоскости
1.3.а. Фазовый портрет маятника
1.3.б. фазовые портреты консервативных систем
1.4. Линейный анализ устойчивости
1.4.б. Классификация неподвижных точек
1.4.в. Примеры анализа неподвижных точек
1.4.г. Предельные циклы
1.5. Интегралы, зависящие от времени
1.6. Неавтономные системы
1.6.а. Осциллятор с вынуждающей силой
1.6.б. Затухающий осциллятор с вынуждающей внешней силой
1.7. Дальнейшие замечания об интегрировании дифференциальных уравнений
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.1. Эллиптические функции
Глава 2. Динамика гамильтоновых систем
2.1.б. Свойства Лагранжиана
2.1.в. Свойства обобщенных импульсов
2.2. Формализм Гамильтона
2.2.б. Уравнения Гамильтона
2.2.в. Скобки Пуассона
2.3. Канонические преобразования
2.3.б. Оптимальное преобразование
2.3.в. Производящие функции
2.4. Уравнение Гамильтона-Якоби и переменные действие—угол
2.4.а. Уравнение Гамильтона-Якоби в случае одной степени свободы
2.4.б. Переменные действие—угол в случае одной степени свободы
2.5. Интегрируемые гамильтонианы
2.5.б. Свойства интегрируемых систем
2.5.в. Примеры интегрируемых систем
2.5.г. Движение на торах
2.5.д. Фундаментальные вопросы
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.1. Преобразования Лежандра
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.2. Геометрические представления в классической механике
Глава 3. Классическая теория возмущений
3.1.б. Сингулярные ряды возмущений
3.1.в. Регулярные ряды возмущений для дифференциальных уравнений
3.2. Каноническая теория возмущений
3.2.б. Решения с точностью до первого порядка по е
3.2.в. Решения с точностью до более высоких степеней по е
3.2.г. Возмущенный осциллятор
3.3. Большое число степеней свободы и проблема малых знаменателей
3.4. Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера
3.4.а. Суперсходящаяся теория возмущений
3.4.б. Теоретико-числовые свойства частот
3.4.в. Другие аспекты КАМ-теоремы
3.5. Резюме по КАМ-теореме и ее вариантам
3.5.б. Отображения
3.5.в. Периодические системы
3.5.г. Точки устойчивого равновесия
Глава 4. Хаос в гамильтоновых системах и сохраняющие площадь отображения
4.1.б. Гамильтониан Хенона-Хейлеса
4.1.в. Цепочка Тода
4.1.г. Поверхность сечения как симплекгическое отображение
4.2. Сохраняющие площадь отображения
4.2.б. Отображения на плоскости
4.2.в. Взаимосвязь между сохраняющими площадь отображениями и гамильтонианами
4.2.г. Дискретные лагранжианы
4.2.д. Стандартное отображение
4.3. Неподвижные точки и теорема Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке
4.3.б. Классификация неподвижных точек
4.3.в. Теорема Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке
4.4. Гомоклинные и гетероклинные точки
4.4.б. Усы и завитки
4.5. Критерии локального хаоса
4.5.б. Спектры мощности
4.6. Критерии возникновения глобального хаоса
4.6.а. Метод перекрытия резонансов
4.6.б. Метод Грина
4.7. Статистические понятия сильно хаотических систем
4.7.б. Перемешивание
4.7.в. Преобразование пекаря и системы Бернулли
4.7.г. Иерархия неупорядоченности
4.8. Гамильтонов хаос в гидродинамических системах
4.8.б. Модельная система
4.8.в. Экспериментальные результаты
ПРИЛОЖЕНИЕ 4.1. Поверхность сечения как симплектическое отображение
Глава 5. Динамика диссипативных систем
5.1.б. Понятие турбулентности
5.1.в. Гамильтонова дигрессия
5.2. Экспериментальные наблюдения возникновения турбулентности
5.2.б. Конвекция Рэлея-Бенара
5.3. Теоретические представления о возникновении турбулентности
5.3.б. Теория бифуркации Хопфа
5.3.в. Теория Рюэля-Тэкенса
5.3.г. Другие сценарии
5.3.д. Фракталы
5.4. Математические модели странных аттракторов
5.4.б. Варианты модели Лоренца
5.4.в. Отображение Хенона
5.5. Бифуркации удвоения периода
5.5.а. Механизм удвоения периода
5.5.б. Бифуркационная диаграмма
5.5.в. Поведение за пределами ...
5.5.г. Другие классы универсальности
Глава 6. Хаос и интегрируемость в квазиклассичсской механике
6.1.б. Квазиклассический предел для задач, не зависящих от времени
6.2. Метод ВКБ и условия квантования Бора-Зоммерфельда
6.2.б. Квантование Бора-Зоммерфельда
6.3. Квазиклассическое квантование в случае большого числа степеней свободы
6.3.б. ЭБК-квантование
6.3.в. Квазиклассические волновые пакеты
6.4. Регулярные и нерегулярные спектры: свойства, связанные с собственными значениями
6.4.б. Спектр мощности и принцип соответствия
6.4.в. Чувствительность к возмущению
6.4.г. Распределение расстояний между уровнями
6.4.д. Спектральная жесткость
6.5. Регулярные и нерегулярные спектры: свойства, связанные с собственными векторами
6.5.б. функция Вигнера
6.5.в. Пространственные корреляции волновых функций
6.5.г. Некоторые численные результаты
6.5.д. Узловые структуры
6.5.е. Теоремы локализации
6.5.ж. Эксперименты по микроволновой ионизации
6.6. Квантовые отображения: эволюция волновых пакетов
6.6.б. Квантовое отображение
6.6.в. Эволюция классических и квантовых состояний
6.7. Квантовые отображения: квантование с использованием замкнутых траекторий
6.7.б. Квазиэнергетический спектр
6.7.в. Пропагатор квантового отображения
6.7.г. Вычисление следа пропагатора
6.7.д. Обсуждение метода замкнутых траекторий
ПРИЛОЖЕНИЕ 6.1. Метод стационарной фазы
Глава 7. Нелинейные эволюционные уравнения и солитоны
7.1.б. Эксперимент ФУП
7.1.в. Открытие солитона
7.2. Основные свойства уравнения КдФ
7.2.б. Решение типа бегущей волны
7.2.в. Автомодельные решения
7.2.г. Законы сохранения
7.2.д. Преобразование Миуры
7.2.е. Инвариантность Галилея
7.3. Обратное преобразование рассеяния: основные принципы
7.3.б. Аналогия с преобразованиями Фурье
7.3.в. Прямая задача рассеяния
7.3.г. Обратная задача рассеяния
7.4. Обратное преобразование рассеяния: уравнение КдФ
7.4.б. Эволюция данных рассеяния
7.4.в. Двухсолитонное решение
7.4.г. Более общие решения
7.4.д. Пара Лакса
7.5. Другие солитонные системы
7.5.б. Уравнение sin-Гордона
7.5.в. Нелинейное уравнение Шредингера
7.5.г. Общая схема ОПР
7.6. Гамильтонова структура интегрируемых систем
7.7. Динамика неинтегрируемых эволюционных уравнений
Глава 8. Аналитическая структура динамических систем
8.1.а. Работа Ковалевской
8.1.б. Работа Пенлеве
8.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области
8.2.б. Общие и особые решения
8.2.в. Пси-ряд
8.2.г. Эллиптические функции и алгебраические кривые
8.3. Интегрируемые системы обыкновенных дифференциальных уравнений
8.3.б. Интегрируемые системы с подвижными точками ветвления
8.3.в. Система Лоренца
8.3.г. Почему «работает» свойство Пенлеве?
8.3.д. Структура сингулярностей неинтегрируемых систем
8.4. Свойство Пенлеве дифференциальных уравнений в частных производных
8.4.б. Примеры свойства Пенлеве для у. ч. п.
8.4.в. Пара Лакса и преобразования Бэклунда