Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.3.в. Квазиклассические волновые пакеты

Интересно, что волновые функции вида (6.3.8) могут описывать не только стационарные состояния. Волновая функция может быть сопоставлена любой гладкой -мерной поверхности (назовем ее , погруженной в -мерное фазовое пространство (см. рис. 6.2). Такую поверхность в пространстве можно представить как некоторую функцию Единственным ограничением является необходимость представления этой зависимости в виде градиента

где — некоторая функция, которая скоро будет определена. Построенное таким образом для произвольной гладкой функции многообразие называется многообразием Лагранжа. Из (6.3.11) вытекает, что обладает следующим свойством:

По аналогии с тем, как угловые переменные используются для определения положения на торах, введем набор переменных для описания положения точек на многообразии Лагранжа. Это позволяет ввести набор канонических «импульсов сопряженных с и определить функцию

Рис. 6.2. (а) Многообразие Лагранжа в пространстве Точки на помечаются с помощью новых канонических переменных Q. (б) Эволюционирующее многообразие Лагранжа демонстрирующее возникновение двух каустик

в (6.3.11) как производящую функцию канонических преобразований переменных и друг в друга, т. е.

Учитывая соображения, приведенные выше при определении плотности частиц в пространстве (в данном случае речь идет о проекции волновая функция, связанная с многообразием Лагранжа имеет вид

где на данном этапе предполагается однозначной функцией Отметим, что приведенный вид волновой функции определяется исключительно нашей способностью идентифицировать многообразие Лагранжа, которое не ограничивается только интегрируемыми системами.

Обычно не является стационарным многообразием и эволюционирует во времени. Эволюция (обозначается как под действием гамильтонова потока как правило весьма сложна. В двумерном фазовом пространстве эволюция проявляется в виде усов и завитков; с ростом размерности морфология может только усложняться. Помимо этого, обычно представляет собой еще более многозначную функцию (см. рис. 6.2), и возникает большее число каустик. Постепенно распространение каустик приводит к тому, что выражение (6.3.14) для волновой функции становится неприменимым. Этот очень важный вопрос будет обсуждаться в разделе 6.6.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление