Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3.б. фазовые портреты консервативных систем

Существование постоянного первого интеграла у рассмотренных до сих пор систем позволяло нам глобально определять фазовые траектории. Это означает, что явная функция представляющая собой механическую энергию, определяла фазовые траектории для произвольных начальных условий. При этом явный вид решения уравнений движения совсем не требовался. Такие системы, для которых энергия представляет собой интеграл движения, называются консервативными системами. В тех случаях, когда энергия может быть представлена (в традиционном виде) как сумма кинетической и потенциальной энергий, структура фазовых траекторий (часто называемых для консервативных систем линиями уровня) особенно проста. Для рассматриваемого типа систем мы можем записать

где «потенциальная функция» представляет собой (обычно) некоторую нелинейную функцию от х, например, для маятника или для «кубического осциллятора». Если считать, что соответствующее уравнение движения

Рис. 1.5. Сопоставление фазовых траекторий для классического движения в потенциале в случае простого гармонического осциллятора

описывает движение частицы в потенциальной яме (хотя уравнение не обязательно должно иметь механическую природу), то физическая интуиция может подсказать способ построения линий уровня. Например, в случае простой линейной системы (1.1.1) потенциальная функция представляет собой параболу, движение внутри которой всегда ограничено и представляет собой перемещения взад-вперед между классическими точками возврата, определяемыми условием (т.е. Таким образом, вырисовывается вполне очевидное «соответствие» между линиями уровня на рис. 1.2 и классическим движением в потенциале (см. рис. 1.5).

В случае маятника представляет собой периодическую потенциальную яму. Ниже периодически расположенных максимумов имеет место ограниченное колебательное движение, а выше этих максимумов движение неограничено (в данном случае вращательное). Максимумы, очевидно, представляют собой точки неустойчивого равновесия (при малейшем возмущении частица скатывается в одну из впадин), тогда как минимумам отвечают точки устойчивого равновесия. И вновь, график функции потенциальной энергии может быть легко сопоставлен с набором линий уровня (см. рис. 1.6).

Рис. 1.6. Сопоставление фазовых траекторий для классического движения в случае маятника

Рассмотрим теперь линии уровня, связанные с системой

Энергия равна где функция потенциальной энергии имеет вид снова Эта функция (изображенная на рис. 1.7) имеет минимумы при глубина и максимум при при больших значениях положительных, так и отрицательных) она круто возрастает как парабола четвертой степени. В интервале значений энергии частица будет находиться вблизи одном из двух минимумов и совершать колебательные движения. Соответствующий набор линий уровня будет, очевидно, представлять собой замкнутые кривые с центрами в точках устойчивого равновесия. Если энергия превосходит высоту максимума в точке колебания будут происходить с большей амплитудой между «внешними стенками» потенциальной ямы. Линии уровня вновь будут представлять собой набор замкнутых траекторий (больших по размеру), на этот раз с центром в точке Эта точка локального максимума потенциала является, очевидно, точкой неустойчивого равновесия и отделяет движение с малой амплитудой (относительно х = ±1) от движения с большой амплитудой (относительно х = 0). Ясно, что при линия уровня (имеющая форму восьмерки) является сепаратрисой.

Рис. 1.7. Сопоставление фазовых траекторий для классического движения в случае потенциала четвертой степени

Рис. 1.8. Сопоставление фазовых траекторий для классического движения в случае кубического потенциала

В качестве другого простого примера может служить система

Соответствующая функция потенциальной энергии имеет единственный минимум при и единственный максимум при (высотой Набор линий уровня, который также легко может быть получен, изображен на рис. 1.8.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление