Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.4.в. Чувствительность к возмущению

Персиваль [4] предсказал также, что регулярные и нерегулярные состояния должны различаться по их поведению при возмущении. Нерегулярные состояния должны быть очень чувствительны к внешним или медленно меняющимся возмущениям — отражая в определенном смысле чувствительность классических хаотических траекторий к начальным условиям, — тогда как регулярные состояния должны быть относительно устойчивы. Впервые это предположение было проверено Помфери [21], который изучил собственные состояния гамильтониана типа Хенона-Хейлеса

при значении Вычислялись «вторые разности»

которые служили мерой чувствительности собственного значения к малым изменениям при возмущении. При значениях энергии, отвечающих преимущественно хаотическому режиму, некоторые величины вторых разностей оказались очень большими. Это свидетельствует в пользу точки зрения Персиваля и в свою очередь подтверждается другими исследованиями. Отметим, в частности, работу [20], в которой тот же самый гамильтониан (6.4.3) рассматривался при другом значении Вследствие симметрии потенциала собственные значения могут обладать либо симметрией А (невырожденной), либо симметрией (дважды вырожденной). Кроме того, каждому состоянию может быть сопоставлено главное квантовое число и приближенное квантовое число «углового момента». Было найдено, что все состояния с большим угловым моментом характеризуются малыми значениями тогда как состояния с небольшим угловым моментом имеют, соответственно, большие значения (Это явление было также отмечено в работе [17] по изучению собственных состояний «стадиона», излагаемой ниже.) Такое поведение согласуется с соответствующей классической динамикой. Все состояния с большим угловым моментом могут быть соотнесены с торами (т. е. с устойчивым движением) и, следовательно, проквантованы по правилам ЭБК, даже в преимущественно хаотическом режиме. Напротив, состояния с небольшим угловым моментом, при условии, что

они могут быть вычислены в рамках квазиклассического приближения, оказываются связанными с теми торами, которые при повышении энергии разрушаются в первую очередь. Проведенное исследование выявило также другое интересное свойство: уровни могут как «пересекаться», так и «избегать пересечения». Оказалось, что при больших значениях энергии, ряд состояний (допустимых с точки зрения симметрии), представленных как функция А, пересекаются. Если это не учитывается в расчетах, то могут быть получены завышенные значения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление