Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.6. Квантовые отображения: эволюция волновых пакетов

Одна из задач при изучении неинтегрируемых систем в рамках квазиклассической механики состоит в подборе модельных систем, для которых одновременно могут быть произведены детальные классические и квантовые расчеты (аналитические и численные). В консервативной системе классический хаос возможен, если она обладает минимум двумя степенями свободы. И хотя численный расчет таких характеристик, как показатели Ляпунова и поверхности сечения для этих систем не вызывает в настоящее время особых затруднений, изучение целого ряда необходимых свойств, таких как перечисление всех замкнутых траекторий, оказывается практически невозможным. Аналогично, точные численные квантовомеханические расчеты уровней энергии и собственных функций при малых (т. е. при больших плотностях состояний) все еще очень дороги и имеют тенденцию к возрастанию неустойчивости при Эти трудности определяют стремление к изучению более простых, но достаточно общих динамических систем. Как говорилось в главе 4, одним из подходящих с этой точки зрения кандидатов являются сохраняющие площадь отображения, которые обладают всеми общими свойствами неинтегрируемых систем. Более того, благодаря одномерности, соответствующие классические (и, как мы увидим ниже, квантовые) свойства рассчитываются (на плоскости) относительно легко. Изучая квазиклассическую механику сохраняющих площадь отображений, мы

сможем использовать многие результаты, приведенные в главе 4; при этом для сохранения цельности изложения некоторые необходимые уравнения мы здесь повторим.

6.6.а. Классическое отображение

Прежде всего вернемся к рассмотрению одномерного зависящего от времени гамильтониана вида

где масса частицы и Этот гамильтониан описывает последовательность периодически чередующихся «кинетических» и «потенциальных» движений. Интегрирование соответствующих уравнений Гамильтона в пределах любого периода от до дает сохраняющее площадь отображение фазовой плоскости на себя:

где штрих означает дифференцирование по Здесь целесообразно использовать дискретный лагранжиан Персиваля (раздел 4.2.г)

связанную с ним функцию действия

и «производящие» соотношения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление