Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ 6.1. Метод стационарной фазы

Метод стационарной фазы служит для вычисления интегралов с осциллирующим подынтегральным выражением

где пределы интегрирования, малый параметр (в квазиклассических задачах — постоянная Планка). В пределе подынтегральное выражение будет быстро осциллировать, и большинство колебаний будут взаимно гасить друг друга (т. е. будет иметь место гасящая интерференция). Основной вклад в интеграл будут давать точки, в которых фаза стационарна, т. е. определяемые условием

где штрих означает дифференцирование по х. Точки называются точками стационарности фазы, и мы пока будем предполагать, что они (1) отстоят достаточно далеко друг от друга и (2) отстоят достаточно далеко от конечных точек.

В окрестности каждой изолированной точки стационарности фазы отображается в квадратичную форму:

где переменная, аналогичная х, и где

и

При условии пределы интефирования раздвигаются до и интеграл приобретает вид

Следующий шаг состоит в том, чтобы медленно меняющуюся часть подынтегрального выражения разложить в ряд окрестности точки стационарности фазы (Отметим, что исходя из точке стационарности фазы соответствует значение В качестве первого приближения мы сохраним только основной член:

так как Производную можно вычислить, дифференцируя отображение Вычисление первой производной дает

но поскольку приходится повторить дифференцирование, что приводит к соотношению

Второе слагаемое в левой части также равно нулю, и мы получаем

Таким образом, интеграл приобретает вид

Интефал в этом выражении представляет собой просто интефал Гаусса

и мы окончательно получаем «приближение стационарной фазы»

В случае нескольких изолированных точек стационарности фазы каждая из них вносит в вклад, определяемый соотношением окончательный результат представляет собой просто сумму всех таких вкладов.

Наиболее важное усовершенствование приближения стационарной фазы связано с вычислением интеграла в случае неизолированных точек стационарности. Это составляет предмет равномерных приближений. Будем теперь считать, что функция зависит также от некоторого параметра и как функция (локально) ведет себя так, как показано на рис. 6.12. При функция имеет четко разделенные точки стационарности каждая из которых дает вклад в определяемый соотношением По мере приближения точки сближаются и при сливаются в одну точку В этой точке нулю равны и а соотношение теряет смысл. В области (действительных) точек стационарности фазы не существует. Понятно, что простое отображение утрачивает справедливость, и требуется более общее отображение, «описывающее» обсуждаемое поведение. Такое отображение имеет вид

где соответствует соответствует связано с изолированными точками стационарности фазы Подробное обсуждение дальнейших выкладок выходит за рамки данной книги. Окончательным результатом является приближение, в котором интеграл Гаусса заменяется функцией Эйри, в результате чего решение ведет себя равномерно во всем интервале изменения е. проходит через точку без расходимостей и в пределе сводится к результатам метода стационарной фазы для изолированных точек

Рис. 6.12. Точки стационарности фазы разделенные при при сливаются в одну точку При действительных точек стационарности фазы нет

Если сливается большее число точек стационарности фазы, в одном или нескольких измерениях, то требуются и более общие, чем отображения. Оказалось, что они могут быть систематизированы с помощью теоремы Тома о сингулярностях градиентных отображений — более известной как теория катастроф.

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление