Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4.б. Классификация неподвижных точек

Случай 1. как правило называется устойчивым узлом. Локальный поток затухает в обоих направлениях к неподвижной точке, определяемых собственными векторами (рис.

Случай 2. неустойчивый узел. Локальный поток экспоненциально растет в обоих направлениях от неподвижной точки (рис.

Случай 3. гиперболическая точка (или «седловая» точка). Экспоненциальный рост в одном направлении и экспоненциальное затухание в другом (рис. Именно к этому типу относятся точки неустойчивого равновесия маятника и нелинейных осцилляторов (1.3.7) и (1.3.8). Часто входящее и выходящее направления называют устойчивым и неустойчивым многообразием (сепаратрисы) соответственно.

Случай 4. устойчивый фокус. Поскольку действительная часть отрицательна являясь корнями квадратного уравнения, образуют комплексно-сопряженную пару), поток закручивается в спираль по направлению к неподвижной точке (рис.

Случай 5. неустойчивый фокус. В этом случае действительная часть положительна, и спираль раскручивается в направлении от неподвижной точки (рис.

Случай 6. эллиптическая точка (или «центр») соответствует вращению локального потока вокруг неподвижной точки. Этот тип устойчивых точек равновесия обсуждался выше в некоторых примерах (рис.

В случаях фокусов 4 и 5 и эллиптической точки 6 возникает вопрос, направлен ли поток (входящий или выходящий) по часовой стрелке или против. Ответ можно найти с помощью линеаризованных уравнений (1.4.4), положив если то движение «нисходящее» (т.е. локально движение происходит по часовой стрелке), тогда как в случае движение «восходящее» и, следовательно, происходит против часовой стрелки.

Рис. 1.9. Локальные фазовые потоки для (а) устойчивого узла, (б) неустойчивого узла и (в) гиперболической точки

Рис. 1.10. Локальные фазовые потоки для (а) устойчивого фокуса, (б) неустойчивого фокуса и (в) эллиптической точки

До сих пор рассматривались случаи невырожденных корней А) и Если корни вырождены, общее решение (1.4.4) имеет вид

В этом случае тип неподвижных точек будет, очевидно, зависеть от знака и типа собственных векторов

Случай 7. Если (т. е. нулевой вектор, при этом произволен), то линии потока будут представлять собой независимые, пересекающиеся прямые, образующие

(а) устойчивую звезду при (рис. 1.11 (а)),

(б) неустойчивую звезду при (рис. 1.11 (б)).

Случай 8. Если не нулевой вектор, то линии потока будут искривлены, образуя

(а) устойчивый несобственный узел при (рис. 1.11 (в)),

(б) неустойчивый несобственный узел при (рис.

Рис. 1.11. Локальные фазовые потоки для (а) устойчивой звезды, (б) неустойчивой звезды, (в) устойчивого несобственного узла и (г) неустойчивого несобственного узла.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление