Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.1.в. Открытие солитона

Теперь перенесемся в Принстон 1965 года и рассмотрим работу Крускала и Забуского. Их интересовал непрерывный предел для цепочки Ферми-Улама-Паста, который они построили следующим образом [9]. Полагая расстояние между звеньями цепочки равным и вводя переменные Крускал и Забуский показали, что путем разложения в ряд Тэйлора до четвертого порядка по уравнения (7.1.4) можно свести к виду (штрихи опущены)

где Следующий шаг состоял в поиске асимптотического решения вида

где т.е. в виде бегущей вправо волны. Заметив, что получаем

где Наконец, положив приходим к уравнению

которое с точностью до тривиального масштабного преобразования совпадает с приведенным уравнением

Забуский и Крускал [9] изучали уравнение численно, наложив периодические граничные условия (Подчеркнем, что такие периодические граничные условия были выбраны из соображений удобства численных расчетов и не влияют на фундаментальный результат.) Для начальных условий вида они нашли, что решение распадается на (восемь) уединенных волн с последовательно увеличивающейся амплитудой. Волны с большей амплитудой движутся быстрее, чем волны с меньшей амплитудой и при этом проходят «сквозь» них, оставаясь практически неизменными! Такое поведение напоминает принцип суперпозиции для линейных волн, хотя в данном случае волны сильно нелинейны. Термин солитон был введен Забуским и Крускалом [9], чтобы подчеркнуть эту замечательную устойчивость нелинейных решений. Основываясь на этих численных

результатах, Крускал с соавт. [12] развили замечательную технику построения решений, что привело к появлению новой области математической физики, которая может быть нестрого названа математикой солитонов.

Мы начнем с рассмотрения некоторых наиболее элементарных свойств уравнения КдФ.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление