Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.2.в. Автомодельные решения

С помощью так называемого автомодельного преобразования (преобразования подобия) для уравнения (7.1.3) может быть также найден другой тип решений. При масштабных преобразованиях переменных и непосредственная подстановка в уравнение КдФ демонстрирует инвариантность этого уравнения по отношению к масштабному преобразованию при и Параметр а может быть выбран произвольным образом, например, В этом случае уравнение (7.1.3) инвариантно по отношению к масштабному преобразованию

Кроме того, комбинации переменных

также масштабно инвариантны. Эти результаты подсказывают замену переменной

где множитель 3 выбран из соображений удобства. С учетом того, что

и

уравнение КдФ преобразуется к виду

Другой тип автомодельного преобразования можно получить, положив

и

Это приводит (после одного интегрирования) к уравнению

где с — постоянная интегрирования. Это специальное обыкновенное дифференциальное уравнение, известное как уравнение Пенлеве первого типа. Уравнение (7.2.17) связано с другим из этих специальных уравнений, а именно, с уравнением Пенлеве второго типа. Значение появления этих специальных обыкновенных дифференциальных уравнений при автомодельных преобразованиях уравнения КдФ будет обсуждаться в главе 8.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление