Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.3. Обратное преобразование рассеяния: основные принципы

Итак, основные сведения об уравнении КдФ, которые мы получили, сводятся к следующему: (1) оно допускает (численно) солитоны; (2) оно обладает множеством особых решений; (3) оно характеризуется галилеевой инвариантностью и (4) оно обладает бесконечным числом законов сохранения, которые связаны с соответствующими законами сохранения уравнения посредством преобразования Миуры

Это приблизительно та информация, которой обладали Гарднер, Грин, Крускал и Миура в 1967 году [13]. Они заметили, что выражение (7.3.1) представляет собой уравнение Риккати относительно которое может быть линеаризовано (см. главу 1) с помощью подстановки

что приводит к

Далее, используя трансляционную инвариантность уравнения КдФ, можно заменить на и - А, где А — произвольная (на данном этапе) постоянная. В результате такого сдвига уравнение (7.3.3) преобразуется к виду

Мы получили не что иное как одномерное не зависящее от времени уравнение Шрёдингера для «потенциала» с собственным значением А.

7.3.а. Взаимосвязь с квантовой механикой

Значительный шаг вперед Гарднер, Грин, Крускал и Миура сделали, интуитивно предположив, что эволюция во времени, соответствующая уравнению КдФ, может быть изучена путем анализа квантовомеханической задачи (7.3.4). Их идея состояла в следующем. Задавшись начальным условием , решить «прямую задачу рассеяния», т. е. рассматривая в качестве потенциала

в уравнении Шрёдингера (7.3.4), найти все соответствующие собственные значения и собственные функции. По мере того, как и эволюционирует или деформируется как функция эти квантовомеханические характеристики — называемые данными рассеяния — также будут изменяться. Здесь принципиально важно подчеркнуть, что переменную следует рассматривать как некий деформационный параметр в уравнении КдФ и ни в коем случае не путать с переменной времени, фигурирующей в обычном зависящем от времени уравнении Шрёдингера. Гарднер, Грин, Крускал и Миура предположили, что эволюцию данных рассеяния, первоначально соответствующих можно получить, не решая непосредственно уравнение КдФ. Если это так, то данные рассеяния, найденные для некоторого значения можно затем использовать для «восстановления» «потенциала» . Такой шаг подразумевает решение квантовомеханической обратной задачи рассеяния, т. е. переход от данных рассеяния к потенциалу, тогда как прямая задача рассеяния состоит в переходе от потенциала к данным рассеяния. Такой косвенный способ решения уравнения КдФ можно схематически представить следующим образом:

Диаграмма «Эволюция данных рассеяния»

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление