Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.3.г. Обратная задача рассеяния

Термин данные рассеяния служит для обозначения множества всех собственных значений связанных состояний нормировочных постоянных и непрерывных функций соответствующих данному потенциалу. Важный результат

был получен в 1950-х годах Гельфандом, Левитаном и Марченко, которые показали (безотносительно к проблеме солитонов), каким образом данные рассеяния можно использовать для однозначного определения соответствующей потенциальной функции Полагая, что удовлетворяет условию ограниченности

определим величину

которую можно рассматривать как некоторое Фурье-преобразование данных рассеяния. Следующий шаг состоит в том, чтобы решить линейное интегральное уравнение

относительно функции Если найдена, то можно показать, что потенциал определяющий данные рассеяния, которые входят в (7.3.18), задается соотношением

Действительно замечательный результат!

Чтобы воспользоваться изложенным для решения уравнения КдФ мы должны:

(1) определить эволюцию данных рассеяния по мере того, как «деформируется» в

(2) научиться решать уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко (7.3.19).

Как оказалось, (1) можно осуществить относительно легко. Основные проблемы связаны — в соответствии с принципом сохранения трудностей — с (2). К сожалению, уравнение (7.3.19) может быть решено точно лишь в достаточно специальных случаях, но сюда относится случай, который необходим для объяснения возникновения солитонов. Эти результаты обсуждаются в следующем разделе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление