Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.6. Гамильтонова структура интегрируемых систем

Одним из важнейших свойств солитонных уравнений является то, что они представляют собой интегрируемые гамильтоновы системы. Здесь мы дадим лишь беглый обзор этого факта, который, в свою очередь, поможет установить связь между свойствами систем с конечными степенями свободы, описанными в главах 2 и 3, и их непрерывными аналогами, которые будут обсуждаться в настоящей главе.

7.6.а. Функциональная производная

Для дальнейшего анализа нам понадобится такое важное математическое понятие как вариация или вариационная производная, получить представление о котором совсем нетрудно, если вспомнить вариационный принцип, описанный в главе 2. Рассмотрим некоторый функционал вида

где является некоторой функцией от и (здесь Очевидным примером функционала (7.6.1) является функционал действия, в котором роль играет лагранжиан, а роль координата Обычная производная (скажем, некоторой функции определятся как результат придания аргументу функции малого приращения, т.е. Вариационная производная отражает эффект малой вариации функции т.е. входящей в . Соответственно, мы можем вычислить первую вариацию функционала обычным способом, полагая

где подразумевается, что вариация обращается в нуль в конечных точках Разлагая подынтегральное выражение в первом слагаемом с точностью до первого порядка по получаем

где Интегрируя второе слагаемое по частям (и предполагая, что приходим к стандартному результату

Выражение, стоящее под знаком интеграла, называется вариационной производной и обозначается Таким образом,

Рассмотрим теперь более общий случай, когда является функцией произвольного числа производных от и,

где введено обозначение Нетрудно показать, что в данном случае вариационная производная вычисляется по формуле

где чередование знаков объясняется многократным интегрированием по частям, необходимым для того, чтобы привести к виду

Приведем несколько простых примеров. Для функционала

получаем

а для функционала

имеем

В качестве менее тривиального примера функционала рассмотрим сохраняющуюся плотность в уравнении т.е.

для которой вариационная производная равняется

Таким образом, уравнение КдФ может быть записано в виде

где выражение для функционала дается формулой (7.6.10).

Функциональную производную можно определить и следующим образом. Рассмотрим функционал (7.6.1), в котором и является функцией также и некоторого параметра а (т. е. так что

Производная от по а легко находится в соответствии с правилом дифференцирования сложных функций:

здесь Интегрируя снова по частям (и считая вклад от конечных точек нулевым), приходим к следующему выражению:

которая также может быть записана в виде

Последнее выражение, по сути, служит определением (Оно может быть очевидным образом обобщено и для случая (7.6.6).)

7.6.б. Гамильтонова структура уравнения Кортвега—де Фриза

Впервые на гамильтонова природа уравнения (7.6.12) была показана в работе Гарднера [22]. В нашем изложении мы будем следовать его подходу. При выводе решения уравнения КдФ Гарднер предположил, что это решение является периодичным на интервале Следовательно, и может быть разложено в ряд Фурье,

где набор комплексных коэффициентов. Рассматривая заданный в (7.6.10) функционал как функцию от множества «параметров» и и используя (7.6.16), получаем выражение

при выводе которого также было использовано разложение (7.6.17). Равенство (7.6.18) позволяет получить разложение в ряд Фурье величины Имеем

С учетом (7.6.12) уравнение движения для отдельной моды и принимает вид

Если при определить переменные

то (7.6.20) можно представить в явно гамильтоновой форме:

Следовательно, можно определить скобки Пуассона двух функционалов как

Опираясь на формулу (7.6.19), легко показать, что (7.6.23) может быть представлено в виде

которое можно принять за определение скобок Пуассона Несложно показать, что так определенные скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби.

Напомним, в разделе 7.2 было показано, что уравнение КдФ обладает бесконечным числом сохраняющихся плотностей вида

где для периодических систем интегрирование ведется в пределах ( а для неограниченных систем — в пределах Ввиду того, что являются сохраняющимися величинами (т. е. константами движения), их скобки Пуассона с гамильтонианом определенным формулами (7.6.21) и (7.6.10), должны обращаться

в нуль:

Кроме того, можно показать, что попарно коммутируют между собой,

для всех тип. Это свойство является непрерывным аналогом (2.5.11) для интегрируемых гамильтоновых систем с конечным числом степеней свободы. Таким образом, уравнение КдФ может рассматриваться как полностью интегрируемая гамильтонова система с бесконечным числом степеней свободы. Продолжая аналогию с конечномерными системами, можно предположить, что поток системы КдФ должен быть ограничен (в некотором смысле) бесконечномерным тором. Кроме того, в великолепной работе Захарова и Фаддеева [23] было установлено, что каноническое преобразование гамильтониана к переменным действие-угол может быть проведено в терминах ОПР.

7.6.в. Гамильтонова структура нелинейного уравнения Шредингера

Можно показать, что все солитонные уравнения, рассмотренные в этой главе, являются гамильтоновыми системами с соответствующими скобками Пуассона (исходное ограничение на интервал ( на самом деле может быть снято). В завершении нашего обсуждения рассмотрим случай нелинейного уравнения Шрёдингера (7.5.26), которое запишем в виде

где . В этом случае гамильтониан описывается выражением

а уравнения (7.6.28) принимают каноническую форму

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление