Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 8. Аналитическая структура динамических систем

8.1. В поисках интегрируемых систем

В предыдущих главах мы неизменно возвращались к вопросу о различиях между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами. Неинтегрируемые системы обладают способностью проявлять хаотическое поведение, тогда как интегрируемые системы отличаются наличием полного набора интегралов и устойчивым периодическим поведением. Интегрируемые системы образуют те «строительные блоки», используя которые можно развивать теорию возмущений. В случае гамильтоновых систем конечной размерности это в конечном итоге приводит к КАМ-теореме, устанавливающей сохранение торов фазового пространства при возмущении. Если же система обладает бесконечным числом степеней свободы и при этом интегрируема, то она, как мы убедились, может иметь солитонные решения.

Несмотря на все достижения в области нелинейной динамики, по-прежнему актуален фундаментальный вопрос: каким образом можно a priori определить, интегрируема данная система уравнений или нет. Пусть, например, дана система Хенона-Хейлеса с подгоночными параметрами

Существуют ли такие комбинации четырех параметров при которых она интегрируема? Как оказалось, существует четыре такие комбинации, а именно:

Из них случай (а) тривиален; случай (б) не так уж трудно усмотреть с учетом того, что уравнения движения разделяются путем простой замены переменных. Но наряду с этим случаи (в) и (г) - в особенности далеко не столь очевидны.

Один из подходов к определению вариантов интегрируемости для подобной системы состоит в отыскании интегралов движения. В общем случае это наиболее сложный подход, требующий сочетания гения, удачи и... мольбы. Для некоторых классов систем специального вида, а именно, для двумерных гамильтонианов с простыми алгебраическими интегралами (т. е. интегралы представляют собой многочлены по каноническим переменным такие интегралы можно найти, используя алгоритм, основанный на методе Бертрана (разработан в 1952 году; рассматривается в [8]). Для установления интегрируемости негамильтоновых систем,

таких как система уравнений Лоренца

требуется отыскать зависящие от времени интегралы — если таковые существуют (см. раздел 1.6). Как мы увидим, в действительности существует лишь небольшое число комбинаций параметров для которых эти уравнения интегрируемы. И хотя в этом случае также существуют процедуры, позволяющие иногда находить соответствующие интегралы, область их применимости (как и метода Бертрана для гамильтоновых систем) ограничена, а в вычислительном аспекте они весьма громоздки.

В случае дифференциальных уравнений в частных производных ситуация ничуть не лучше. Рассмотрим, например, следующий набор нелинейных уравнений:

Как можно определить, какие из этих уравнений интегрируемы и обладают -солитонными решениями? Прочитав главу 7, мы, разумеется, узнаем в первых двух уравнениях уравнение КдФ и модифицированное уравнение КдФ соответственно, для которых обратные преобразования рассеяния известны и явные -солитонные решения построены. А вот что можно сказать по поводу последнего уравнения? Можно вместо поисков (неизвестного пока) обратного преобразования рассеяния попытаться записать законы сохранения. К настоящему моменту известно три таких закона, но при этом нет доказательств, что не существует других. Иной подход состоит в численном изучении системы. Сталкивая уединенные волны друг с другом, необходимо проследить, обладают ли они солитонными свойствами, т. е. сохраняются ли их форма и скорость после столкновения. Для рассматриваемого уравнения численно солитонное поведение не наблюдается. И хотя это веский довод в пользу неинтегрируемости, доказательством он все-таки не является.

Итак, наша цель состоит в отыскании простого аналитического теста, позволяющего определить интегрируемость как о. д. у., так и у. ч. п. - независимо от того, гамильтоновы они или нет. Этот поиск приводит нас в комплексную плоскость, т. е. ответ определяется типом особенностей аналитического продолжения решений в комплексной области их независимых переменных. Этот, быть может, несколько отпугивающий на первый взгляд подход непосредственно ведет к цели и оперирует только свойствами данного дифференциального уравнения (уравнений), не требуя построения решений в явном виде. Лежащая в его основе идея не нова и восходит к классической работе выдающегося русского математика Софьи Ковалевской.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление