Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.1.а. Работа Ковалевской

Знаменитая работа Ковалевской, за которую она была удостоена премии Бурдена Парижской Академии наук в 1888 году, была посвящена решению уравнений

Эйлера-Пуассона, описывающих движение тяжелого волчка относительно неподвижной точки. Они представляют собой систему шести нелинейных связанных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида:

где составляющие угловой скорости, у — направляющие косинусы, которые определяют ориентацию волчка. Наборы переменных представляют собой моменты инерции и координаты центра тяжести соответственно. Они выступают в качестве подгоночных параметров системы: в зависимости от их значений система может быть или не быть интегрируемой.

Во времена Ковалевской было найдено лишь несколько частных решений системы (8.1.4), и вопрос о возможности ее решения в общем виде при любых оставался открытым. Система (8.1.4) имеет три «классических» первых интеграла при любых значениях параметров:

Первые два представляют собой полную энергию и угловой момент соответственно; третий выражает простые геометрические ограничения. Для решения уравнений (8.1.4) необходимо отыскать четвертый интеграл и тем самым свести систему к уравнениям второго порядка, которые затем могли бы быть проинтегрированы в квадратурах.

Такой четвертый интеграл был известен для следующих случаев:

(1) Случай Эйлера: т.е. центр тяжести совпадает с неподвижной точкой. Нетрудно проверить, что при этом четвертый интеграл имеет вид

(2) Случай Лагранжа: , т. е. симметричный волчок, центр тяжести которого расположен на оси В этом случае уравнение (8.1.4в) становится тривиальным, и четвертый интеграл — это просто

(3) Полностью симметричный случай:

Все три случая допускают интегрирование в терминах эллиптических функций Якоби.

Ковалевская предложила совершенно иной подход к решению этой механической задачи, предполагающий использование явно нефизической техники комплексных переменных. Основываясь, по-видимому, на работе Фукса, в которой рассматривались свойства дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной плоскости, она решила определить возможные типы особенностей уравнений (8.1.4). Цель состояла в отыскании условий, при которых обыкновенный полюс был бы единственной разновидностью подвижных особенностей решений в комплексной плоскости.

Здесь необходимо прерваться и выяснить, что подразумевается под подвижной особенностью. В случае линейных обыкновенных дифференциальных уравнений особенности определяются коэффициентами уравнения и локализуются в фиксированных точках комплексной области. Например, уравнение

имеет неподвижную особенность в точке В этом случае решение имеет вид и мы видим, что особенность в точке действительно является существенной. (Существенные особые точки подробнее будут обсуждаться в разделе Нелинейные дифференциальные уравнения могут, в противоположность линейным, обладать подвижными особенностями, локализация которых определяется начальными условиями. Например, уравнение

имеет решение

где Таким образом, имеет простой полюс при где определяется начальным значением Решением уравнения

является

где в данном случае и уравнение имеет подвижную точку ветвления.

Ковалевская нашла, что лишь в четырех случаях уравнения Эйлера-Пуассона имеют только подвижные полюсы. К уже известным трем случаям добавился еще один (случай Ковалевской): Четвертый интеграл имеет вид

Уравнения движения Ковалевская проинтегрировала с помощью виртуозной техники, включающей гиперэллиптические функции.

В то время было неясно, за счет чего срабатывает такой подход, т. е. каким образом конкретная структура особенностей в комплексной области может определять

интегрируемость (в реальном времени) механической системы. Результат Ковалевской рассматривался как особое свойство задачи для недеформируемого твердого тела, не имеющее каких-либо других приложений для механических систем. И лишь в последнее время была осознана общность обсуждаемого подхода и достигнуто некоторое понимание того, за счет чего он работает.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление