Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.5. Интегралы, зависящие от времени

Интегралы, зависящие от времени, представляют собой редкие и, следовательно, весьма интересные объекты. Простым примером служит специальный случай затухающего линейного осциллятора (1.1.6), который мы снова запишем в виде системы первого порядка (приняв без потери общности

Умножив сперва уравнение (1.5.1а) на и уравнение (1.5.26) на получим

Затем уравнение (1.5.1а) умножим на на

Сложив вместе уравнения обеих систем (1.5.2) и (1.5.3), получаем выражение

которое приводится к виду

и может быть проинтегрировано точно:

где С — постоянная интегрирования. Уравнение (1.5.4) позволяет выразить у как функцию но только при специальном выборе когда левая часть представляет собой полный квадрат, это выражение принимает простой вид:

Подстановка в (1.5.1а) приводит к точно решаемому уравнению первого порядка

с затухающим решением

где вторая постоянная интегрирования. Этот результат, естественно, эквивалентен решению (1.1.16) в случае вырожденных собственных значений (что имеет место при Существование не зависящего от времени первого интеграла у консервативных систем налагает определенные геометрические ограничения на фазовый поток. В рассматриваемом случае можно соотношение (1.5.5) можно рассматривать как ограничение в виде прямой линии экспоненциально стягивающейся к началу координат по времени.

В качестве другого примера может служить система уравнений

Умножая (1.5.8а) на х, (1.5.86) на у и складывая, приходим к уравнению

интегрирование которого дает

Подстановка в (1.5.8а) приводит к нелинейному уравнению первого порядка

Оно имеет вид уравнения Риккати и полностью линеаризуется с помощью подстановки приводя к линейному уравнению второго порядка

которое в принципе может быть решено стандартным способом разложения в ряд. В этом случае можно считать, что фазовый поток ограничен экспоненциально стягивающейся окружностью, определяемой соотношением (1.5.10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление