Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.3.б. Интегрируемые системы с подвижными точками ветвления

Существование у системы свойства Пенлеве означает, что ее решение (решения) должно располагаться на единственной римановой поверхности с произвольным числом изолированных подвижных полюсов. Это условие может оказаться слишком жестким для установления интегрируемости, и мы ослабим его, допустив рациональность подвижных точек ветвления. Эта идея будет проиллюстрирована на примере системы Хенона-Хейлеса в интервале При этом четырьмя произвольными параметрами обладают только особенности случая (2). Для того, чтобы соответствующие резонансы были рациональными числами, необходимо, как следует из (8.3.6), чтобы

Это приводит к следующим ведущим порядкам:

и резонансам:

Сюда, конечно, входит и уже известный нам интегрируемый случай , соответствующий Для этих специальных значений мы можем

записать подстановку таким образом, что в окрестности подвижной особенности (скажем, при ) разложения приобретают вид

Для того, чтобы они были верны, условия совместности должны выполняться для резонансов при (для резонанса при они удовлетворяются автоматически). Оказывается, что оба условия совместности удовлетворяются только при что соответствует при условии (это условие возникает для первого резонанса). Таким образом, в этом случае локальные разложения принимают вид

Кроме того, соответствующее трехпараметрическое решение, отвечающее особенностям случая (1), однозначно и имеет резонансы при . Общее решение (8.3.18а) имеет изолированные точки ветвления типа квадратного корня, и при «локальной» замене переменной разложение становится однозначным по Но наряду с этим мы можем в данном конкретном случае осуществить «глобальную» замену переменной и сделать таким образом решение однозначным по переменным Полученные результаты позволяют предсказать интегрируемость гамильтониана

Это было независимо подтверждено Холлом [12], который нашел второй интеграл,

Утверждение, что системы с рациональными точками ветвления — которые не обязательно должны преобразовываться к «локальным» или «глобальным» однозначным решениям — могут в некоторых случаях быть интегрируемыми, получило название слабого свойства Пенлеве. К настоящему времени найдено много примеров интегрируемых систем, обладающих слабым свойством Пенлеве. Вопрос о том, почему свойство Пенлеве и слабое свойство Пенлеве могут указывать на интегрируемость системы, мы обсудим вкратце в разделе 8.3.г.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление