Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.3.г. Почему «работает» свойство Пенлеве?

Похоже, что свойство Пенлеве (и слабое свойство Пенлеве) является непосредственным тестом на интегрируемость системы. Однако доказательства этого утверждения до сих пор не существует. За последние годы удалось несколько продвинуться в этом направлении, что потребовало привлечения сложных понятий алгебраической геометрии, введенных в разделе 8.2.г. Но наряду с этим может оказаться полезным следующее простое рассуждение. Согласно теореме Лиувилля, если является целой ограниченной функцией то она может принимать лишь одно значение, т. е.

Другими словами, должна быть постоянной. Далее, из независимости интегралов движения от времени следует, что они представляют собой целые функции

комплексной переменной В случае относительно узкого класса интегрируемых гамильтоновых систем, называемых алгебраически интегрируемыми, интегралы являются многочленами от канонических переменных, т. е. имеют вид

где -мерные вектора число степеней свободы. Отдельные могут иметь подвижные особенности различных типов. Но для постоянства I необходимо, чтобы все сингулярные члены суммы (8.3.38) сокращались в любой особой точке Для многочленов указанного вида это возможно лишь в том случае, если локальные разложения для соответствуют полюсам или рациональным точкам ветвления. Понятно, что если разложения для канонических переменных содержат иррациональные, комплексные или иные многозначные степени то (в общем случае) невозможно построить многочлен, в котором степени уничтожались бы. (Заметим, что сама гамильтонова функция будет, разумеется, всегда целой (т. е. постоянной) функцией.)

Очевидно, что приведенные рассуждения справедливы лишь для интегралов типа многочлена. Не исключено, что в случае гамильтонианов, интегралы которых представляют собой иррациональные или трансцендентные функции от канонических переменных, свойство Пенлеве не будет служить подходящим свойством на интегрируемость. Аналитическая структура таких систем составляет предмет современных исследований.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление