Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2.в. Скобки Пуассона

Один из наиболее важных вопросов состоит в том, можем ли мы проинтегрировать уравнение Гамильтона. Если система имеет только одну степень свободы (т. е. описывается одной парой канонических переменных , то соответствующая пара уравнений первого порядка может быть проинтегрирована методом, описанным в главе 1. Основной процедурой, независимо от числа степеней свободы, является отыскание интегралов движения. Гамильтонов подход позволяет очень изящно представить временную зависимость динамических переменных. Рассмотрим некоторую функцию для нее

где скобки Пуассона для функций и Существует тесная связь между скобками Пуассона в классической механике и коммутатором в квантовой механике. Действительно, скобки Пуассона можно записать для любой пары динамических переменных, например,

Если динамическая переменная не зависит от времени явным образом (т. е. и ее скобки Пуассона с обращаются в ноль, то, как следует из (2.2.24), является постоянной движения. Очевидно, что энергия не зависящих от времени систем представляет собой постоянную движения, так как скобки Пуассона для функции Я с самой собой равны нулю.

Из определения скобок Пуассона (2.2.25) можно вывести целый ряд их свойств. Для трех заданных функций справедливы соотношения

последнее из которых, обладающее характерной циклической структурой, известно как тождество Якоби. Набор свойств (2.2.26) свидетельствует о том, что скобки Пуассона соответствуют структуре, которая называется алгеброй Ли. Ничто не препятствует выбору различных функций в качестве канонических переменных, что приводит к соотношениям вида

которые напоминают соответствующие соотношения, полученные в квантовой механике (например, третьему соотношению отвечает Если постоянные движения, то из теоремы Пуассона следует, что их скобки также являются постоянной движения, т. е. Это очевидным образом следует из тождества Якоби Так как первые две скобки обращаются в ноль (в силу того, что являются постоянными движения), мы автоматически получаем требуемый результат подтверждающий, что также является постоянной движения. На практике, однако, теорема Пуассона не всегда достаточно конструктивна (с точки зрения построения новых интегралов движения), поскольку скобки могут оказаться просто постоянной (например, равняться нулю) или некой функцией исходных интегралов движения

В главе 1 отмечалось, что в общем случае для полного «интегрирования» системы из уравнений первого порядка требуется интеграл (сюда входят как нетривиальные «интегралы движения», так и тривиальные «постоянные интегрирования»). Означает ли это, что для решения системы уравнений, описывающих гамильтонову систему, потребуется интеграл? К счастью оказывается, что благодаря особой симплектической структуре уравнений Гамильтона, о которой уже упоминалось выше, необходимо лишь интегралов движения. Для понимания сути этого замечательного факта целесообразно сперва рассмотреть так называемые канонические преобразования. Они представляют собой такие преобразования переменных, которые не затрагивают гамильтонову структуру системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление