Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3.б. Оптимальное преобразование

Практическое использование канонических преобразований (помимо того, что они сами по себе обладают довольно изящной структурой) состоит в отыскании тех из них, которые позволяют максимально упростить интегрирование уравнений Гамильтона. Оптимальным является случай, когда все циклические; при этом преобразованный гамильтониан зависит только от новых импульсов

Уравнение Гамильтона при этом приобретают особенно простой вид, так как

где некоторая не зависящая от времени функция от Уравнение для может быть, таким образом, проинтегрировано непосредственно:

где представляет собой набор произвольных постоянных, определяемых начальными условиями. Ясно, что новые «импульсы» являются интегралами движения. Поэтому, если мы можем их отыскать, то мы, тем самым, можем и полностью проинтегрировать уравнения движения. Величины в совокупности составляют набор из интегралов: величин представляют собой нетривиальные постоянные движения (или первые интегралы), позволяющие «осуществить» интегрирование, а величин это тривиальные постоянные интегрирования, позволяющие, завершить, интегрирование. (При необходимости полученное решение можно, по крайней мере, в принципе, снова выразить в терминах исходных, старых, Разумеется, для этого мы должны уметь: (1) отыскивать эти замечательные новые переменные и (2) корректно преобразовывать гамильтониан к новому представлению.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление