Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4.б. Переменные действие—угол в случае одной степени свободы

Из результатов, полученных в главе 1 для связанных гамильтоновых систем, следует, что траектории на фазовой плоскости представляют собой замкнутые инвариантные кривые. Движение, таким образом, периодично; возврат в одну и ту же точку пространства происходит после завершения полного цикла с характерным периодом где частота движения. Идея введения переменных действие—угол состоит в отыскании такой пары сопряженных переменных, что сопряженная «координата» будет возрастать на при каждом завершении полного периода движения. Обозначив эти переменные через где постоянный сопряженный импульс, запишем пару соотношений для производящей функции:

и уравнение Гамильтона-Якоби (ср. (2.4.5))

Для пути с заданным значением а (и, следовательно, с заданным значением I, так как из (2.4.126) получаем

Мы требуем, чтобы результатом каждого цикла вдоль инвариантной кривой (обозначаемой при фиксированном значении а было изменение в на

Это требование выполняется при условии

которое и выступает в качестве определения переменной действия. Постоянная интегрирования а и постоянный сопряженный импульс I не доставляют особых хлопот. Уравнение Гамильтона-Якоби (2.4.13) в этом случае еще может быть решено относительно как функции и а:

и в результате переменная действия определяется из (2.4.16) как интеграл

вдоль инвариантной кривой с фиксированным значением (При интегрировании вдоль замкнутого контура в интеграл включаются обе ветви в (2.4.10): тем самым учитывается многозначность Канонические уравнения для преобразованного гамильтониана имеют вид

Они интегрируются непосредственным образом. В результате получаем

где характеристическая частота движения (ср. (1.1.12)), а Выразив посредством (2.4.18) переменную действия и, тем самым, ее точную взаимосвязь с а,

можно записать в (2.4.17) как функцию и При этом с помощью производящего соотношения (2.4.12) можно явным образом выразить через

Наглядным примером может служить обыкновенный гармонический осциллятор с гамильтонианом

Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид

где а — постоянная интегрирования, которую мы полагаем равной полной механической энергии Переменная действия определяется соотношением

где замкнутый контур представляет собой окружность, на которой расположены точки возврата Интеграл (2.4.23) легко вычисляется; в результате получаем

Это, в свою очередь, задает соотношение между постоянной интегрирования и новым постоянным «импульсом» Производящая функция при этом может быть записана в виде

Исходя из соотношения (2.4.126) для производящей функции, легко можно выразить зависимость в явном виде:

где — некоторый сдвиг фазы Уравнения Гамильтона в данном случае легко интегрируются , и в качестве решения (2.4.26) мы без труда получаем результат, совпадающий с (1.1.11).

Менее тривиальным примером является система (1.1.13), гамильтониан которой имеет вид

Для действия получается соотношение

и, соответственно, «новый» гамильтониан выражается как функция действия следующим образом:

В данном случае задача оказывается нелинейной, так как из уравнений Гамильтона следует, что частота зависит от действия:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление