Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2.б. Решения с точностью до первого порядка по е

Из (3.2.9а) следует, что т.е. можно получить заменой I на в гамильтониане нулевого приближения На следующем шаге (уравнение (3.2.96)) мы должны (снова) произвести замену членах, содержащих Но и (не изменяя их функционального вида), что позволяет записать

Теперь, воспользовавшись периодичностью движения по (старой) угловой переменной в, можно произвести усреднение (3.2.10) по этой переменной. Поскольку

предполагается, что а также последующие периодичны по в, и мы также требуем, чтобы средние значения их производных обращались в ноль, поправка к энергии первого порядка имеет вид

где

В некоторых случаях может оказаться, что само значение равно нулю. Получив мы можем разрешить (3.2.10) относительно

Поскольку представляет собой «усредненную» часть (см. уравнение (3.2.11)), правую часть (3.2.13) целесообразно обозначить через подразумевая, что представляет собой «периодическую» часть . С учетом этого запишем (3.2.13) в виде

Обе части (3.2.14) периодичны по в, и мы представим их в виде рядов Фурье по угловой переменной в:

Член с не входит в сумму (3.2.15а), так как по определению строго периодично (т.е. постоянный член отсутствует). Хотя может включать произвольную функцию от (соответствующую члену с в (3.2.156)), удобно положить его равным нулю и в дальнейшем при суммировании исключать нулевой член. Приравнивая коэффициенты в (3.2.14), находим, что

где предполагаются известными. Таким образом, производящая функция первого порядка приобретает вид

Теперь соотношения (3.2.6) для производящей функции можно использовать для отыскания «новых» переменных действие—угол с точностью до первого порядка по

и скорректированная частота задается соотношением

Таким образом, возмущенное движение состоит из суммы невозмущенного движения и осцилляторных поправок Секулярные члены не возникают. (Потенциальным источником трудностей является случай, когда частота нулевого порядка равна нулю или близка к нулю — это может иметь место при движении вблизи сепаратрисы.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление