Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.б. Гамильтониан Хенона-Хейлеса

Одна из наиболее известных и устоявшихся работ по изучению поверхности сечения была выполнена более 20 лет назад Хеноном и Хейлесом [13]. Она представляет собой образец ясности научного изложения, в котором нет ничего лишнего. Рассмотренный в работе гамильтониан имеет вид

и был выбран в качестве простой модели для описания движения звезды в цилиндрически симметричном и гравитационно гладком галактическом потенциале. Этот гамильтониан также может служить простой моделью для пары нелинейно взаимодействующих молекулярных связей. Функция потенциальной энергии схематически представленная на рис. 4.3, поддерживает связанное движение вплоть до значения энергии При малых смещениях движение практически линейно; однако с ростом энергии изображающая точка все нагляднее «демонстрирует» нелинейность потенциала и вытекающие отсюда интересные следствия. На рис. 4.4 представлены знаменитые теперь поверхности сечения, рассчитанные (для различных начальных условий при каждом из значений энергии) для При движение преимущественно интегрируемо, и (фактически) все рассмотренные начальные условия соответствуют траекториям, ложащимся на гладкие кривые. Самопересекающаяся кривая, на которой пересечения (точки на рис. 4.4 (а) представляются (лишь визуально!) гладкими, — это определенный тип сепаратрисы, который более детально мы обсудим потом. При поверхность сечения заметно меняется. Некоторые гладкие кривые остаются неизменными, тогда как другие «разрушаются» различным образом. У семейства кривых, расположенных в правой части рисунка, появляется «цепочка» из пяти «островов». Она порождается единственной траекторией, которая последовательно перепрыгивает от острова к острову, постепенно вырисовывая контуры пяти маленьких кривых. С другой стороны, существовавшая при самопересекающаяся структура исчезает, и на ее месте мы видим

Рис. 4.3. Уровни потенциальной энергии для системы Хенона-Хейлеса. Снаружи внешнего треугольного контура движение становится неограниченным

Рис. 4.4. Поверхности сечения для системы Хенона-Хейлеса при и (Воспроизведено, с разрешения, из [4])

случайным образом разбросанные точки (порождаемые одной и той же траекторией), через которые невозможно провести гладкую кривую. При исчезают практически все гладкие кривые, за исключением нескольких мелких островков. Множество точек, которые заполняют большую часть доступной энергетической поверхности, порождаются единственной траекторией. Эта замечательная последовательность рисунков дает ясное представление о том, каким образом движение, описываемое неинтегрируемым гамильтонианом (за исключением энергии никакого другого первого интеграла нет), может измениться от преимущественно регулярного до преимущественно хаотического.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление