Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.в. Цепочка Тода

Прежде, чем обсудить более детально природу такого перехода, мы опишем довольно поучительные результаты изучения другой поверхности сечения. Речь идет о проведенном Фордом с соавторами исследовании трехчастичной цепочки Тода, представляющей собой три экспоненциально взаимодействующие частицы, расположенные на кольце.

Гамильтониан имеет вид

и с учетом того, что (проверьте это), может быть сведен к эквивалентному двумерному варианту

При малых смещениях движение в этом случае также практически линейно; в действительности, если при разложении экспоненты в ряд ограничиться третьим порядком, член потенциальной энергии будет таким же, как и в системе Хенона— Хейлеса. Однако, в отличие от предыдущего случая, движение ограничено при всех

значениях энергии. В случае равных масс было показано, что поверхность сечения содержит исключительно гладкие кривые при и (вплоть до) предел возможностей их компьютера! Не было обнаружено абсолютно никаких признаков хаоса, и эти результаты являются сильным доводом в пользу того, что система (4.1.5) действительно интегрируема. Побуждаемый этими численными расчетами, Хенон [14] нашел другой первый интеграл,

который в пределе малых смещений стремится к

что есть не что иное как момент количества движений системы. Напротив, Казати и Форд [10], в случае неравных масс (т. е. обнаружили хаотическое поведение на поверхности сечения. Помимо того, что эти результаты являются иллюстрацией замечательного взаимодействия численного эксперимента и теории, они вновь поднимают принципиальный вопрос о том, каким образом интегрируемость системы (4.1.5) может быть предсказана без описанных вычислительных усилий. Подробное обсуждение этой проблемы отложим до главы 8.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление