Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4.б. Усы и завитки

При «потраекторном» изучении, таком как было проведено для отображения Хенона, мы наблюдали «моря» хаоса, но при этом не видели кривых, соответствующих множественным пересечениям многообразий Чтобы получить представление о том, как в действительности выглядит такая структура, мы должны подвергнуть действию отображения целый линейный элемент (каждой точке которого соответствуют разные начальные условия). На рис. 4.23 представлены результаты таких расчетов для линейного элемента в окрестности гиперболической неподвижной точки отображения Хенона. Такие осцилляции линейного элемента с их характерной структурой мы называем гомоклинными осцилляциями. В любой (сильно) хаотической области (не обязательно в окрестности единственной гиперболической неподвижной точки) линейный элемент будет изменяться именно таким образом — экспоненциально быстро растягиваться и раскачиваться взад-вперед. Эта характерная черта эволюции линейного элемента на плоскости, была названа усом. Поведение линейного элемента в окрестности эллиптической неподвижной точки существенно отличается. Основываясь на нашем обсуждении отображений

Рис. 4.23. (а) Итерации линейного элемента в окрестности гиперболической неподвижной точки, в результате которых образуется «ус». (Воспроизведено, с разрешения, из [2].) (б) Итерации линейного элемента в окрестности эллиптической неподвижной точки, в результате которых возникает «завиток»

поворота, несложно показать, что линейный элемент будет образовывать сильно завивающуюся структуру. Такие структуры мы будем называть завитками. Описываемые особенности представляют собой «наглядное» проявление хаоса в случае сохраняющих площадь отображений. В разделе 4.8 мы увидим, что забавные явления, наблюдаемые в плавающих на поверхности кофе сливках или в тонких бензиновых пленках, стекающих вдоль улиц в дождливый день, могут быть описаны именно в этих терминах.

В заключение сделаем еще одно небольшое замечание относительно гетероклинных точек. Поскольку они соответствуют пересечениям отвечающих различным семействам неподвижных точек (например, на рис. 4.16), весьма вероятно, что некоторая промежуточная инвариантная кривая (т. е. некоторый тор с (очень) иррациональным числом вращения) также должна разрушаться. Понятно, что это требует более сильного возмущения. Таким образом, появление гетероклинных точек можно рассматривать как предвестник возникновения достаточно распространенного хаоса. Критерий возникновения такого глобального хаоса представляет интерес, поскольку предполагается, что при этом, например, усиливаются процессы переноса. Развит целый ряд методов предсказания этого перехода, включая метод перекрывания резонансов Чирикова и метод вычетов Грина. Они будут обсуждаться в последующих разделах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление