Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.1.в. Гамильтонова дигрессия

При нулевой вязкости уравнение Навье-Стокса преобразуется в уравнение Эйлера:

Граничное условие определяется требованием, чтобы жидкость не могла проникать через границу

где соответствует нормальной производной к границе (предполагаемой здесь стационарной). Заметим, что это условие отличается от условия (5.1.1 в) для уравнения Навье-Стокса, в котором скорость (а не ее нормальная производная) равна нулю на .

В случае двух измерений уравнения Эйлера, записанные для компонент скорости ( имеют вид

Уравнение неразрывности (условие несжимаемости) записывается в виде

Из этого условия следует, как уже отмечалось в разделе 4.8, существование такого полного дифференциала, что

Это позволяет записать

Функция называется функцией тока.

Важной величиной в гидродинамике является завихренность:

Применение к уравнению Эйлера операции ротора уничтожает содержащий давление член и приводит к уравнению

Однако в случае двух измерений завихренность становится просто скалярным полем,

Уравнение Эйлера в этом случае приобретает вид

где

Общепринятым в гидродинамике является представление завихренности в виде суммы «точечных вихрей»:

где «напряженность» или циркуляция точечного вихря, расположенного в Легко показать, что

Уравнения движения точечного вихря в поле остальных точечных вихрей имеют вид

где Если ввести функцию

то уравнения движения могут быть записаны в гамильтоновой форме:

Интегрируема ли такая система? Для интегрируемости требуется интеграл движения. В случае трех вихрей можно отыскать интегралы, связанные с инвариантностью вращений и трансляций (теорема Нетер), и таким образом свести систему

к заведомо интегрируемому виду. В случае четырех точечных вихрей можно прийти к гамильтониану с двумя степенями свободы. Его численный анализ (поверхности сечения, показателей Ляпунова и т. д.) показывает, что система неинтегрируема и характеризуется сочетанием регулярного и нерегулярного движений (см., например, обзор [13]). Весьма интересно, что отсюда вовсе не следует, что система остается неинтегрируемой в пределе для которого формальные свойства уравнений (5.1.16) мало изучены.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление