Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3.в. Теория Рюэля-Тэкенса

В своей основе эта теория, предложенная в 1971 году, напоминает теорию Ландау-Хопфа в том отношении, что она также основана на представлении о нормальных бифуркациях, в результате которых образуются торы все более высокой размерности. Но при этом Рюэль и Тэкенс предположили, что по достижении времени движение может ограничиваться многообразиями, которые уже не являются гладкими торами, а имеют сложную топологию. Такие многообразия получили наименование странных аттракторов. В более поздней работе совместно с Ньюхаузом [20] было показано, что странные аттракторы могут существовать по достижении времени Эти странные аттракторы представляют собой многообразия, не имеющие простой целой размерности, т. е. нечто промежуточное между, скажем, поверхностью и объемом. Понятие нецелой размерности подробно изучалось Мандольбротом [18] в контексте фракталов, которые будут рассматриваться в разделе 5.3.д.

Основное положение теории Рюэля-Тэкенса-Ньюхауза состоит в том, что если аттрактор удовлетворяет определенным условиям, т. е. относится к аттракторам «аксиомы А» (на практике оказывается, что этот класс весьма ограничен), то движение на нем хаотично. Это означает, что движение очень чувствительно к начальным условиям; временные корреляции указывают на экспоненциальное затухание (доказанное лишь в некоторых случаях); усредненное поведение описывается мерой с ненулевой энтропией.

Эти свойства странных аттракторов определяют принципиальные различия между теорией Ландау-Хопфа и теорией Рюэля-Тэкенса. В первой из них движение всегда предполагается квазипериодичным по своей природе. Во второй существование странных аттракторов обеспечивает механизм, благодаря которому движение полностью детерминистической диссипативной динамической системы может проявлять существенно хаотическое поведение. Таким образом оказывается, что хаос в диссипативной системе возможен и без внешнего шума.

Рис. 5.11. Два соседних начальных условия (сплошная и пунктирная линии) экспоненциально разбегающиеся по спирали в плоскости у (растяжение) и вновь притягивающиеся обратно (складывание) в направлении z

На первый взгляд может показаться, что возможность существования хаоса в диссипативной системе не согласуется с интуитивными представлениями, поскольку, как мы видели при обсуждении гамильтоновых систем, чувствительность к начальным условиям означает разбегание смежных траекторий (и, соответственно, положительность показателей Ляпунова), тогда как диссипация предполагает притяжение траекторий. Безусловно, в случае потоков (дифференциальных уравнений) на плоскости (т. е. в случае двумерного фазового пространства) совмещение этих двух представлений выглядит (и так оно и есть) топологически невозможным. Но с появлением у фазового пространства третьего (или более) измерения парадокс может быть разрешен следующим образом. Представим себе траектории, которые разбегаются в плоскости путем раскручивания по спирали от некоторой неустойчивой спиральной точки, затем покидают плоскость, а после «складывания» вновь возвращаются (притягиваются) в центр спирали. Такие траектории показаны на рис. 5.11. Понятно, что при этом реализуются два основных процесса: (1) растяжение, обеспечивающее чувствительность к начальным условиям, и (2) складывание, благодаря которому возможно притяжение. С учетом того, что траектории в фазовом пространстве не могут пересекаться, последовательные повторения таких растяжений и складываний должны приводить к топологически чрезвычайно сложному объекту.

Чтобы получить некоторое представление о степени этой сложности, рассмотрим простое модельное преобразование, известное как отображение подковы Смэйла [22]. Оно состоит из следующей последовательности растяжений и складываний. Сначала выбирается исходный прямоугольник (рис. 5.12), который растягивается в (скажем) направлении жив несколько большей степени сжимается в направлении у. В результате исходный прямоугольник преобразуется в более длинный и узкий прямоугольник, площадь которого немного меньше, чем у исходного (т. е. площадь уменьшается, что отражает поведение диссипативных систем). Следующий шаг состоит в том, чтобы изогнуть полученный прямоугольник и придать ему форму

подковы. Затем описанная последовательность действий повторяется. Подкова вытягивается в более длинную и узкую и затем изгибается, что приводит к структуре, напоминающей двойную шпильку. Понятно, что если такие преобразования продолжать и дальше, то получится чрезвычайно сложная структура. Поперечное сечение этой структуры (см. рис. 5.13) представляет собой последовательность сегментов, число которых удваивается при каждой итерации (т. е. два сегмента после первой итерации, четыре сегмента после второй и т.д.). Такая последовательность сегментов образует так называемое канторово множество, о котором мы будем говорить в разделе 5.3.д как о простом примере фрактала.

Рис. 5.12. Отображение подковы Смэйла. Исходный квадрат (а) растягивается таким образом, что его длина удваивается, а площадь несколько уменьшается (б), а затем изгибается в виде подковы (в). На (г), (д) и (е) этот процесс повторяется, что дает дважды изогнутую подкову

Рис. 5.13. (а) Типичное сечение подковы Смэйла. (б) Последовательность сечений (1), (2) и (3) иллюстрирует формирование структуры типа канторова множества

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление