Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3.д. Фракталы

На рис. 5.14 приведен хорошо известный пример простого фрактала — снежинка Коха. Продолжение построения такой снежинки приводит к кривой, имеющей

Рис. 5.14. Первые стадии построения снежинки Коха

бесконечную длину, но ограничивающей конечную площадь. В отличие от простой кривой, имеющей (топологическую) размерность единица, эта кривая характеризуется так называемой размерностью Хаусдорфа-Безиковича , значения которой заключены между единицей (линия) и двумя (поверхность). Можно показать, что в рассматриваемом случае

Рис. 5.15. Построение канторова множества: (а) единичный интервал; (б) удаление среднего сегмента 1/3; (в) удаление средних сегментов 1/9; (г) удаление средних сегментов

Фундаментальным свойством таких фракталов, которое проявляется уже в этом простом примере, является их воспроизводимость в любом масштабе.

У фрактала может существовать наибольший масштаб, но, в принципе, не должно быть такого малого масштаба, в котором не воспроизводилась бы основная структура. (На практике, конечно, могут возникать также и ограничения снизу.) Часто говорят, что такие структуры аналогичны структуре канторова множества. Само канторово множество строится следующим образом: единичный интервал делится на три равных части, средняя удаляется и процесс повторяется для каждого из оставшихся сегментов (рис. 5.15), и так далее. В этом случае размерность Хаусдорфа-Безиковича равна

В случае таких простых геометрических объектов, как снежинка и канторово множество, легко рассчитывается исходя из следующий соображений. Рассмотрим канторово множество. Зададим общую меру точек, лежащих на сегменте длины I в виде некоторой функции Если предположить, что в процессе построения канторова множества, при котором на каждом шаге остается два сегмента, каждый из которых имеет длину, равную 1/3 исходной, общая мера точек сохраняется, то

Если далее предположить, что преобразуется как

то из (5.3.7) легко вытекает, что показатель степени 6 равен Этот показатель степени и является «фрактальной размерностью» Во многих случаях фрактальную размерность самовоспроизводящегося объекта приходится рассчитывать численно. Ко времени написания книги эта задача стала одной из наиболее

актуальных в обсуждаемой области исследований. Одним из наиболее конструктивных алгоритмов расчета размерности является в настоящее время алгоритм Грассбергера и Прокацио [17]. Большинство таких алгоритмов позволяет как правило рассчитывать не непосредственно, а некоторую связанную с ней величину. В случае метода Грассбергера-Прокацио, основанного на свойствах определенной корреляционной функции, вычисляется нижняя граница

В теории глобальной турбулентности полагается, что вихревые слои свертываются в бесконечно сложные фрактальные структуры.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление