Главная > Разное > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5.б. Бифуркационная диаграмма

Динамику отображения (5.5.2) легко детально проследить с помощью компьютера. Основной численный эксперимент (идеальный для персонального компьютера) состоит в изучении итераций для последовательных значений А. Показанная на рис. 5.24 диаграмма получается следующим образом: при каждом значении А итерации отображения проводятся до тех пор, пока не исчезнут все «переходные состояния» и траектория не займет свое «асимптотическое положение» (т. е. -цикл, -цикл, -цикл, или -цикл или апериодический аттрактор и т.д.). Отметим следующие основные закономерности.

(1) Последовательные бифуркации -циклов в А-пространстве сжимаются все больше и больше.

(2) Хаотические полосы появляются при

(3) Нечетные циклы (например, -циклы) возникают в хаотическом режиме.

(4) Полностью «однородное» хаотическое поведение достигается при (Позднее мы увидим, что движение в этом случае истинно эргодическое на интервале

За предельной точкой удвоений периода структура необычайно богата. Упомянем некоторые неустоявшиеся еще термины, которые появились в последнее

Рис. 5.24. Бифуркационная диаграмма, рассчитанная для логистического отображения начиная с первой бифуркации удвоения периода при до эргодического предела при , означает предельную точку удвоений периода

время для ее описания (введены Йорком и соавт. [32]). Внезапное сужение хаотической полосы называется субдукцией (subduction), а соответствующее ее уширение — внутренним кризисом, окончательное уширение при называется кризисом.

Возвращаясь к бифуркациям удвоения периода, приведем таблицу последовательных значений А:

Естественно возникает вопрос, существуют ли какие-либо «реальные» эксперименты (в противоположность численному моделированию), в которых могла бы наблюдаться такая последовательность. Очевидно, что экспериментально разрешить бифуркации высокого порядка очень трудно. Но по крайней мере четыре периода удвоения наблюдались в красивых экспериментах [36], в которых конвекция Рэлея—Бенара изучалась для ртути в магнитном поле. Найденный универсальный масштаб с точностью до 5% согласуется с числом Фейгенбаума.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление