Главная > Разное > Принципы цифровой связи и кодирования
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.7. Нижние границы при нулевой скорости

Как мы только что отметили, верхние и нижние границы, асимптотически совпадают при расходятся при меньших скоростях, причем в наибольшей степени при Теперь мы исправим эту ситуацию, построив новые нижние границы при нулевой скорости для АБГШ канала и всех симметричных по выходу каналов с двоичным входом. В каждом случае построенные при нулевой скорости границы совпадут с лучшей верхней границей. Этим будет показано, что верхняя граница с выбрасыванием при нулевой скорости асимптотически точна. Получению нижних границ при малых скоростях посвящен следующий параграф.

3.7.1. Неограниченный по полосе АБГШ канал с сигналами равной энергии

Основным параметром, определяющим границы при малых скоростях, является минимальное расстояние между сигнальными векторами. Оценим сверху минимальное расстояние для сигнальных векторов равной энергии и произвольной размерности, построив верхние границы для среднего расстояния между различными векторами

где равенство выпочняется тогда и только тогда, когда центр тяжести Следовательно,

Равенство в (3.7.1) выполняется тогда и только тогда, когда набор сигналов представляет собой регулярный симплекс, определенный в (2.10.19).

Применим полученный результат к оцениванию снизу вероятности ошибки любого такого набора сигналов в АБГШ канале. Разумно предположить, что наибольший вклад в вероятность ошибки даст пара самых близких сигналов. Обозначив два этих сигнала через получим

где обозначение в правой части неравенства совпадает с введенным в (2.3.4) и задает попарную вероятность ошибки в случае, когда имеются всего два сигнала и передан первый из них. Неравенство вытекает из того, что выкидывание из набора сигналов всех, кроме позволяет нам расширить обе решающие области и, таким образом, получить меньшую вероятность ошибки. В § 2.3 [см. соотношение (2.3.10)] мы уже установили, что эта вероятность ошибки равна

где последнее неравенство следует из (3.7.1) и того, что функция монотонно убывает по х. Наконец, из (3.7.2) и классической оценки функции ошибок, приведенной в (2.3.18), получим

где стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Рассуждая

так же, как и при выводе (3.6.26), и пользуясь обозначениями (2.5.13), получим 1

Приведенная нижняя граница для лучшего кода не зависит от скорости и асимптотически совпадает с (2.5.16) - верхней границей (для ортогональных сигналов) только при Кроме того, она очевидно слабее (меньше) нижней границы сферической упаковки (3.6.26) при больших скоростях. В следующем параграфе мы обсудим границу при малых скоростях, вывод которой основан на приведенном результате, но которая точнее при всех скоростях

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление