Главная > Небесная механика > Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.13. Общее правило составления канонических уравнений

Пусть механическая система, имеющая степеней свободы, движется в потенциальном поле с силовой функцией Тогда ее движения описываются обобщенными (лагранжевыми) координатами и уравнения Лагранжа второго рода [9]

для этой механической системы имеют вид

где Т — кинетическая энергия механической системы, зависит от

Система (4.1.48) представляет собой систему дифференциальных уравнений второго порядка, т. е. ее общий порядок равен Различными способами ее можно привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка, но наиболее удобной и полезной формой является так называемая каноническая или гамильтонова форма.

Изложим правило составления канонических уравнений. Наряду с обобщенными координатами введем в рассмотрение обобщенных импульсов по формулам

Переменные называются каноническими.

Разрешая уравнения (4.1.49) относительно обобщенных скоростей получим последние в виде функций обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени

Составим характеристическую функцию (функцию Гамильтона) Н, равную

в которой обобщенные скорости входящие в первую сумму и в выражение для кинетической энергии, заменены с помощью (4.1.50).

Определение. Канонической, или гамильтоновой, системой дифференциальных уравнений называется система

Каноническая система дифференциальных уравнений имеет порядок и эквивалентна системе уравнений Лагранжа

(4.1.48). Если Я не зависит явно от времени то система (4.1.52) имеет первый интеграл

называемый интегралом энергии. В этом случае Я представляет собой полную энергию механической системы, — произвольная постоянная.

Из изложенного правила следует, что движение механической системы может быть описано бесконечным множеством канонических уравнений вида (4.1.52). Все определяется выбором лагранжевых координат

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление