Главная > Небесная механика > Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.03. Полиномы Лежандра. Функции Лежандра

Определение. Полиномами Лежандра называются многочлены степени

Весьма распространено следующее представление для полиномов Лежандра (формула Родрига).

Из предыдущей формулы имеем, в частности:

Если , то получаем

Кроме того, применяется интегральное представление Лапласа

интегральные представления Мейера

а также

Соотношения ортогональности полиномов Лежандра:

Определение. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

называется дифференциальным уравнением Лежандра. Оно имеет два независимых решения.

Первое решение — функция Лежандра 1-го рода, выражаемая с помощью гипергеометрического ряда

абсолютно сходящегося в круге

Второе решение — функция Лежандра 2-го рода

Ряд (4.5.40) абсолютно сходится при Функции Лежандра удовлетворяют оценкам

Имеют место следующие рекуррентные соотношения:

При (где — целое неотрицательное число) функция Лежандра 1-го рода обращается в полином Лежандра степени (4.5.32).

Полиномы Лежандра можно определить как коэффициенты разложений

Первое разложение сходится при второе — при Функция называется производящей функцией полиномов Лежандра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление