Главная > Небесная механика > Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.05. Сферические функции

Пусть задано уравнение Лапласа

Определение. Сферическими многочленами называются однородные многочлены переменных х, у, z степени являющиеся решениями уравнения Лапласа (4.5.51).

Уравнение (4.5.51) имеет линейно независимых решения . В сферических координатах сферические многочлены имеют вид

Определение. Функции называются сферическими функциями Лапласа, или сферическими функциями порядка.

Функция является решением уравнения в частных производных

Сферическая функция порядка выражается формулой

где — постоянные коэффициенты.

Определение. Функции называются зональными сферическими функциями, или зональными гармониками. Функции называются секториальными сферическими функциями, или секториальными гармониками, а функции

называются тессеральными гармониками. Зональные гармоники обращаются в нуль на множестве параллелей, разделяющих единичную сферу на зоны: секторйальные гармоники обращаются в нуль на множестве меридианов, разделяющих сферу на секторов, а тессеральные гармоники равны нулю и на множестве параллелей и на множестве меридианов,

Свойства ортогональности сферических функций на единичной сфере выражаются равенствами

где — символ Кронекера [14],

Теорема. Всякая непрерывная и дважды дифференцируемая с непрерывными производными функция определенная на единичной сфере, разложима в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям.

Другими словами,

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление