Главная > Небесная механика > Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.05. Максимизация высоты вертикального подъема ракеты в однородном поле тяжести

Пусть исследуется движение ракеты при следующих предположениях:

а) ускорение силы тяжести постоянно,

б) вектор тяги направлен вертикально вверх;

в) скорость истечения частиц с постоянна;

г) сопротивление атмосферы отсутствует.

Если закон изменения массы известен, то интегрирование уравнения вертикального подъема ракеты можно довести до конца. Действительно, внешнее поле определяется силой поэтому уравнение (8.3.01) принимает вид

В результате интегрирования (8.3.28) имеем

или, так как

Повторное интегрирование определяет высоту подъема ракеты как функцию времени

Пусть — общая длина всех активных участков, а — общая длина всех пассивных участков траектории. Тогда высота подъема ракеты равна

1. Простейшая вариационная задача. Предположим, что выполнены условия а) — г), и пусть кроме того, заданы масса топлива и некоторое -параметрическое множество Ф функций Требуется решить задачу о максимизации высоты подъема ракеты на множестве Ф.

Пусть — момент полного сгорания топлива. Тогда из соотношения

можно найти как функцию параметров Обозначим эту зависимость через

Формулы

полученные из (8.3.29) и (8.3.30), выражают скорость ракеты и длины активного и пассивного участков как функции параметров

Общая высота подъема ракеты равна

Соотношение (8.3.36) показывает, что задача о максимизации высоты в известном классе функций является задачей об исследовании на экстремум функции переменных (см. [1], [9], [30], [63]). Полное решение задачи для однопараметрических семейств функций дано в [47].

2. Общая вариационная задача. Уравнениям (8.3.13), (8.3.14) можно придать форму

Если секундный расход топлива ограничен, то следует добавить еще условие (8.3.17)

Пусть, кроме того, заданы граничные условия:

3. Формулировка задачи. В классе функций удовлетворяющих уравнениям (8.3.37), (8.3.17) и граничным условиям (8.3.38), найти такую систему функций, которая максимизирует функционал

где Н — наибольшая (конечная) высота?

Функция Лагранжа (8.3.19) для данной задачи равна

а уравнения Эйлера — Лагранжа (8.3.20) принимают вид

Анализ уравненнй (8.3.41), выполненный Миеле [55], [64], Лоуденом [20], Лейтманом [65], показывает, что оптимальная траектория состоит лишь из участков нулевой тяги и участков максимальной тягн, причем на оптимальной траектории имеется только одна угловая точка, т. е. оптималь состоит из двух участков (участка максимальной тяги и участка нулевой тяги). Для данной задачи легко находится также функция переключения величины тяги

Из уравнений (8.3.41) вытекает, что одномерный базис-вектор является линейной функцией времени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление