Главная > Небесная механика > Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.08. Общая вариационная задача для движения ракеты в однородном поле тяжести при наличии аэродинамического сопротивления

Пусть движение ракеты исследуется при следующих допущениях (см. рис. 82):

а) Земля считается плоской и ускорение силы тяжести постоянно,

6) скорость истечения частиц с постоянна;

в) сила сопротивления атмосферы зависит от высоты ракеты над горизонтом у, скорости и от подъемной силы

г) вектор тяги лежит в вертикальной плоскости проходящей через точку запуска О;

д) на величину секундного расхода топлива наложено ограничение (8.3.16) или, что то же самое, (8.3.17).

Тогда уравнения движения ракеты вместе с условиями связи (8.3.14) и (8.3.17) имеют вид

Формулировка задачи. В классе функций удовлетворяющих уравнениям (8.3.49) и некоторым граничным условиям (число которых должно быть менее 12), найти такую систему функций, которая минимизирует некоторый функционал

Функция Лагранжа (8.3.19) и соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

В формуле — множители Лагранжа.

Анализ уравнений (8.3.51) при различных предположениях относительно функционала силы сопротивления и размерности

задачи, выполненный Миеле [68], [69], Лейтманом [70], Брайсоном и Россом [71] и др., позволяет сделать следующее заключение.

1) При наличии сопротивления атмосферы оптимальная траектория состоит из участков нулевой тяги, максимальной тяги и промежуточной (переменной) тяги.

2) Оптимальная программа подъемной силы является непрерывной функцией времени.

3) Функции переключения величины тяги и направления тяги определяются формулами

Если уравнения Эйлера — Лагранжа разрешены относительно искомых функций, то равенства (8.3.52) позволяют задать функции переключения как явные функции времени.

4) Для планирующих траекторий оптимальная программа полета достигается в том случае, когда сила аэродинамического сопротивления минимальна по отношению к скорости при постоянных значениях уровня энергии и подъемной силы.

Достаточно подробно эта задача изложена в главе IV монографии [12].

Полное решение простейшей вариационной задачи (задачи о максимальном движении ракеты в сопротивляющей атмосфере) дано А. А. Космодемьянским [47]. Можно также указать на интересные результаты Оберта [51], А. А. Космодемьянского [72], Д. Е. Охоцимского [73].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление