Главная > Небесная механика > Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.07. Теорема Арнольда о существовании условно-периодических решений гамильтоновых систем

Пусть движение объекта описывается гамильтоновой системой порядка

с аналитическим по всем переменным и и периодическим по гамильтонианом где — малый параметр. Фазовое -мерное пространство переменных является прямым произведением -мерного тора на область -мерного евклидова пространства.

Если гамильтониан зависит только от переменных то уравнения (10.1.41) принимают вид

Уравнения (10.1.42) легко интегрируются, и мы имеем

Каждый тор инвариантен, и если частоты несоизмеримы, то мы имеем условно-периодическое движение на торе с частотами

Основной вопрос, который возникает при рассмотрении гамильтоновых систем (10.1.41), можно сформулировать следующим образом: существуют ли у системы инвариантные торы, близкие к тору и имеет ли движение на этих торах условно-периодический характер? Этот вопрос в последние десятилетия рассматривался К. Зигелем [6], А. Н. Колмогоровым [35], В. И. Арнольдом [36], Ю. Мозером [37], [38]. Позднее существенные обобщения были сделаны в работах [39], [40].

Ниже мы приводим теорему Арнольда [36] о существовании условно-периодических движений для системы (10.1.41).

В задачах небесной механики не все компоненты -мерных векторов и входят в гамильтониан одинаковым образом, поэтому ради удобства будем рассматривать векторы размерности и векторы размерности причем очевидно, что

Теорема Арнольда. Пусть гамильтониан зависит от параметра -периодичен по переменным аналитичен в -мерной области

и представим в виде

где имеет порядок а

где зависят только от а

Пусть, кроме того, в области выполняются неравенства

а в области

Тогда для любого существует такое что если то имеют место утверждения:

1. Область

состоит из двух множеств из которых инвариантно относительно канонических уравнений с гамильтонианом (10.1.45), а другое, мало в смысле меры

2. Множество состоит из инвариантных -мерных аналитических торов , задаваемых параметрическими уравнениями

где угловые параметры, постоянные, зависящие от номера тора .

3. Инвариантные торы Та мало отличаются от торов

Это отличие дается оценками

4. Движение на торе условно-периодично с -частотами :

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот играют средние движения планет.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление