Главная > Небесная механика > Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.05. Теоремы Ляпунова об устойчивости

Первая теорема. Если существует в К знакоопределенно положительная функция такая, что ее полная производная по в силу системы (10.3.16) является знакопостоянно отрицательной, то ее тривиальное решение устойчиво в смысле Ляпунова при

Вторая теорема. Если существует в К знакоопределенно положительная функция допускающая бесконечно малый высший предел при и такая, что ее полная производная по в силу системы (10.3.16) является знакоопределенно отрицательной, то ее тривиальное решение асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при

Третья теорема. Пусть в допускает бесконечно малый высший предел при и имеет знакоопределенную

производную в силу системы (10.3.16). Если при некотором в любой окрестности а найдется точка в которой выполняется неравенство

то тривиальное решение системы (10.3.16) неустойчиво в смысле Ляпунова при

Замечание 1. Во всех теоремах область определения функции вообще говоря, больше области определения функции Это условие задано включением

Замечание 2. В третьей теореме не обязательно знакоопределенная функция.

Замечание 3. Как заметил Н. Г. Четаев [71], для того чтобы тривиальное решение было неустойчивым, достаточно наличия хотя бы одного решения, исходящего из каждой, сколь угодно малой окрестности начала и выходящего за пределы фиксированной окрестности. Тем самым условия третьей теоремы Ляпунова могут быть ослаблены, что и сделал Н. Г. Четаев (см. теорему Четаева в [32], [71]).

Пусть

где А — постоянная -матрица, и вектор-функция такова, что стремится к нулю равномерно по

Тогда справедлива следующая теорема, составляющая основу первого метода Ляпунова.

Теорема. Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части, то тривиальное решение системы (10.3.16) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление