Главная > Небесная механика > Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Часть II. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ

Глава 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕВОЗМУЩЕННОГО КЕПЛЕРОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

В этой главе приводятся основные сведения о задаче двух тел, в частности, различные формы дифференциальных уравнений и их первых интегралов. Выводы и дополнительные подробности можно найти в [1] — [5].

§ 1.01. Постановка задачи. Различные формы дифференциальных уравнений движения

Пусть в пространстве имеется изолированная система двух тел , с массами и пусть эти тела притягиваются друг к другу как материальные точки согласно закону всемирного тяготения Ньютона. Требуется изучить движение одного тела относительно другого. Движение, получаемое на основе задачи двух тел, называется не возмущенным кеплеровским движением.

1. Дифференциальные уравнения движения в абсолютной системе координат. Возьмем абсолютную систему координат и обозначим через координаты центра масс тела а через — координаты центра масс тела Р. Тогда дифференциальные уравнения движения тел запишутся в виде

где постоянная тяготения, а

есть расстояние между телами и Р.

Абсолютная система координат на практике не является удобной. Поэтому приходится пользоваться другими системами координат.

2. Дифференциальные уравнения относительного движения.

Возьмем прямоугольную систему координат с началом в центре масс тела с осями соответственно параллельными осям Тогда формулы преобразования координат имеют вид

Дифференциальные уравнения относительного движения тела Р запишутся следующим образом:

где

Дифференциальные уравнения (2.1.04) описывают невозмущенное кеплеровское движение планеты относительно Солнца, невозмущенное движение спутника относительно планеты, невозмущенное движение искусственного спутника относительно Земли и т. д.

3. Дифференциальные уравнения относительного движения в цилиндрических координатах. Введем цилиндрические координаты по формулам

Тогда дифференциальные уравнения движения тела Р относительно будут иметь вид

где

а определяется формулой (2.1.05)

4. Дифференциальные уравнения относительного движения в сферических координатах. Пусть — сферические координаты, определяемые формулами

Тогда движение тела Р относительно описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

где дается формулой (2.1.05).

5. Дифференциальные уравнения относительного движения в форме Клеро — Лапласа. Из второго уравнения (2.1.07) находим интеграл площадей

где с — произвольная постоянная. Если в начальный момент -

Введем переменные и и по формулам

Тогда, приняв за независимую переменную долготу Я, уравнения (2.1.07) можно преобразовать к виду

После того как из уравнений (2.1.12) переменные будут найдены как функции к, уравнение (2.1.10) позволит связать долготу со временем

Дифференциальные уравнения в форме Клеро — Лапласа были использованы Лапласом в теории движения Луны.

6. Каноническая форма уравнений относительного движения.

Уравнения (2.1.04) можно записать в канонической форме:

где

Примем теперь за обобщенные координаты сферические координаты

Тогда обобщенные импульсы определятся формулами

а канонические уравнения движения запишутся в виде

где

есть функция Гамильтона в новых переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление