Главная > Математика > Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Итерационные методы решения СЛАУ

Для решения СЛАУ итерационными методами преобразуем систему от формы (2.1) к виду

Задав столбец начальных приближений подставим правые части системы (2.7) и вычислим новые приближения которые опять поставим в систему (2.7), и т.д. Таким образом, организуется итерационный процесс, являющийся обобщением метода простых итераций на системы уравнений:

Процесс (2.8) можно видоизменить, если использовать приближения к решениям, найденные при выполнении текущей итерации. Такое изменение известно как метод Зейделя [1] и, как правило, приводит к ускорению сходимости.

Для сходимости итерационных методов необходимо, чтобы значения диагональных элементов матрицы СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по сравнению с другими элементами. Условие сходимости можно обеспечить преобразованием исходной матрицы путем перестановки уравнений и неизвестных. Методы простых итераций Зейделя имеют разные области сходимости. Эти методы можно применять и к решению систем нелинейных уравнений.

Заканчиваем итерационный процесс, когда выполнятся условия

где заданная погрешность;

Блок-схема программ итерационных методов состоит из трех блоков и близка к схеме метода Гаусса (рис. 2.1). Отличие состоит в том, что в основной программе (блок 0) кроме порядка системы необходимо задать погрешность решений и максимально допустимое количество итераций после выполнения которых процесс прекращается. В блоке 1 программ 2.2 кроме расширенной матрицы системы определяем начальные приближения, которые заданы одинаковыми и равными нулю, хотя возможно запрограммировать их задание в диалоговом режиме.

В блоке 2 (программа итерационный цикл (строки 200-260) по переменной К может выполняться максимально раз, если за итераций условия (2.10) не выполнятся, то на дисплей выводится сообщение Переменная в случае, когда решение найдено, принимает значение счетчика итераций, которое выводится на дисплей после решений, в противном случае

В программах метод Зейделя реализован в виде подпрограмм входными параметрами которых являются размерность системы максимально допустимое количество итераций расширенная матрица системы А, начальные приближения X, погрешность Выходными параметрами подпрограмм SEID являются количество итераций которое фактически потребовалось для нахождения решений, и вектор - столбец решений X. Таким образом, X является одновременно входным и выходным параметром.

От программ метода Зейделя несложно перейти к программам метода простых итераций. Для этого придется ввести дополнительный локальный вектор Y, по размерности совпадающий с вектором X и предназначенный для хранения приближений к решениям. Оператор присваивания заменим на оператор а перед окончанием итерационного цикла добавим блок изменения вектора X. Для программы последний блок запишется в виде

Для контроля и отладки программ 2.2 решим систему уравнений

С абсолютной точностью за 4 итерации находится решение этой системы Система (2.11) подобрана так, что метод Зейделя приводит к сходящемуся процессу, а метод простых итераций - к расходящемуся.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление