Главная > СВЧ, ультразвук, аккустика > Общая акустика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 123. Нахождение квадратичной поправки методом малых возмущений

Точные решения нелинейных уравнений удается получить только в малом числе случаев. Случай плоской бегущей волны, рассмотренный в предыдущем параграфе, — один из немногих примеров такого решения. Зная точное решение, конечно, легко получить и приближенное (например, квадратичную поправку), как это также было показано в предыдущем параграфе. Но в других случаях точные решения не найдены и приходится ограничиваться приближенными решениями.

Если число Маха мало по сравнению с единицей и если волну рассматривают в течение не слишком долгого времени или на не слишком большом участке ее распространения, то можно учесть нелинейность путем введения малой поправки к решению линеаризованного уравнения, отыскивая поправку методом малых возмущений. Для этого как члены в точном уравнении, так и искомое решение представляют в виде ряда по степеням малого параметра — числа Маха — и, разделяя в уравнениях члены разных порядков, отыскивают последовательные члены решения. Следует иметь в виду, что в воздухе число Маха не превышает 0,0015 даже для болевого порога, поэтому число Маха действительно можно считать в ряде случаев малым параметром задачи.

В дальнейшем мы будем ограничиваться нахождением только второго члена — квадратичной поправки к решению линеаризованных уравнений. Вообще говоря, нахождение последовательных членов разложения сводится к решению линейных задач: к нахождению звукового поля в линейном приближении, вызванного сторонними источниками звука (сторонними объемными скоростями и сторонними силами), определяемыми предыдущими членами разложения. В первом приближении метода малых возмущений, когда помимо линейных членов удерживаются только члены второго порядка по числу Маха, сторонние источники

определяются квадратами и произведениями величин первого приближения. Получающаяся квадратичная поправка обычно дает указание и на поведение волны в высших приближениях: пока поправка остается малой по сравнению с членом первого порядка, высшими членами разложения можно, как правило, пренебрегать.

Формально нахождение квадратичной поправки аналогично методу определения рассеянного поля в среде со слабыми неоднородностями (см. § 114). В обоих случаях нахождение дополнительного поля (нелинейной поправки — в одном случае и рассеянного поля — в другом) заменяется нахождением поля в линейной (соответственно однородной) среде, создаваемого сторонними источниками звука, зависящими от исходного поля.

В обоих случаях поправка мала, но накапливается, и поэтому рано или поздно эффект делается велик и расчет перестает быть применимым. Но при рассеянии на статистических неоднородностях фазы рассеянных волн случайны и нарастание поправки происходит медленно — пропорционально корню квадратному из времени распространения или из длины пробега волны. В нелинейном же эффекте добавочные поля складываются в фазе друг с другом и поправка растет быстрее: пропорционально самому времени или длине пробега. Поэтому время или длина пробега, для которых метод малых возмущений применим, в нелинейных задачах меньше, чем в задачах о рассеянии.

Встречаются различные акустические ситуации, в которых задачу о нахождении квадратичной поправки к заданному полю первого порядка приходится ставить по-разному. Так, может оказаться, что задано поле в некоторый момент времени Тогда это поле можно принять за поле первого порядка, полагая поле второго порядка в начальный момент равным нулю, и искать, как оно меняется с течением времени.

В другой постановке может быть задано давление, создаваемое на поверхности излучателя звука (например, колеблющегося поршня). Тогда поле, создаваемое на излучателе, взятое в линейном приближении, можно принять за поле первого порядка, а квадратичную поправку к давлению принять на поверхности поршня равной нулю; задача будет состоять в этом случае в нахождении поправки к давлению во всем остальном пространстве. Заметим, что в этой задаче квадратичная поправка к смещению поршня уже не равна нулю.

В третьей постановке задачи можно принять за величину первого порядка заданное смещение поршня, так что квадратичную поправку к смещению на поршне следует принять равной нулю. Задача в этом случае состоит в отыскании поправки к давлению, определенному по линейной теории, во всем пространстве, в том числе и на самой поверхности поршня, где квадратичная поправка к давлению, рассчитанному по линейной теории, не будет равна нулю. Возможны и другие варианты постановки задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление