Главная > Математика > Геометрические приложения алгебры логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Полные системы функций

Важную роль в математике имеет понятие полноты системы функций, которого заключается в следующем. Пусть имеется система функций (не обязательно конечная), правила построения и дано некоторое множество функций Система И называется полной по отношению к множеству если все функции, принадлежащие к множеству -реализуемы.

Подчеркнем, что понятие полноты носит относительный характер: с точки зрения возможности построения множества система функций может быть полной, но она может оказаться не полной для построения множества Кроме того, полнота системы функций зависит от того, какие правила построения используются.

Пример 1. Дана система базисных функций: и правила построения сложных функций Эта система является полной по отношению к множеству целых рациональных функций и неполной — по отношению к множеству дробно-рациональных функций.

Пример 2. Пусть есть множество непрерывных функций двух переменных а множество непрерывных функций -переменных . Из работ А. Колмогорова [19] и В. И. Арнольда [1] следует, что всякая непрерывная функция переменных может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных. Следовательно, множество непрерывных функций двух переменных представляет собой полную систему по отношению к множеству непрерывных функций переменных (при использовании правил построения

Рассмотрим пример использования правил построения линейных комбинаций

Пример 3. Пусть есть множество функций двух переменных непрерывных в ограниченной замкнутой связной области вместе с частными производными первого порядка. Будем говорить, что функция и принадлежит -окрестности функции если выполняются неравенства

Необходимо построить такое множество функций которое содержало бы по крайней мере по одной функции из -окрестности каждой функции, принадлежащей множеству .

Оказывается, что система функций

является полной по отношению к множеству (при соблюдении правил вывода Справедливость этого утверждения следует из известной теоремы Вейерштрасса: если функция и непрерывна вместе с частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области то для любого найдется такой полином что в области будут выполняться неравенства

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление