Согласно неравенствам (4.69) и (4.70), находим
На основании леммы 1 (гл. 4, 5) получим
Согласно формулам (4.71) и (4.72) найдем
На основании леммы 1 (гл. 4, 5) получим
Таким образом, уравнение (4.77) может быть записано в виде
где
Обозначив
уравнение (4.82) перепишем так:
Согласно лемме 2 (гл. 4, 5) это уравнение имеет решение:
следовательно
Учитывая, что выражение
можно привести к виду:
и замечая, что выполняются неравенства
приходим к выводу, что
Следовательно, формула (4.86) может быть переписана в виде
Выражение (4.90) представляет собой нормальную функцию дуги
(рис. 31, б), так как при подстановке в нее координат какой-либо точки получаем расстояние от этой точки до дуги
Воспользовавшись формулами (4.27) и (4.63), можем написать нормальное уравнение дуги окружности, произвольно расположенной на плоскости:
где величины х, определяются формулами
Символ
примем в качестве стандартного символа для обозначения нормальной функции дуги окружности, имеющей начало в точке
конец в точке
и угол, который составляет касательная в точке
с хордой
равный 0. Легко убедиться в Справедливости следующего тождества:
т. е. если считать точку
началом дуги, то следует изменить знак угла
Покажем, что при
нормальная функция дуги окружности переходит в нормальную функцию хорды, т. е.
При
получим
а величина
от 0 не зависит. Поэтому
Нетрудно убедиться, что выражение (4.96) тождественно совпадает с выражением (4.62), хотя внешне отличается своей формой.