Главная > Математика > Геометрические приложения алгебры логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Векторная нормальная функция чертежа

Определенный интерес вызывает построение для данного чертежа такой вектор-функции значение которой в произвольно взятой точке представляет собой вектор, соединяющий точку с соответствующей ей точкой противостояния. Очевидно, что каждой точке Дирихле соответствует единственный такой вектор, в то время как точке раздела может соответствовать несколько или даже бесконечно много таких векторов. Вектор-функцию назовем нормальной вектор-функцией чертежа, а уравнение нормальным векторным уравнением.

Задача построения нормальной вектор-функции чертежа решается с помощью следующей теоремы:

Теорема 1. Если есть нормальная функция чертежа во всех точках Дирихле, которые могут быть окружены окрестностями, не содержащими точек раздела, имеет место равенство

Доказательство. Допустим, что точка может быть окружена окрестностью, состоящей из точек Дирихле, а соответствующая ей точка противостояния. Из формулы (4.26) следует, что производная принимает наибольшее значение, равное единице, если ее направление противоположно направлению вектора т. е. если Следовательно,

Другими словами, представляет собой единичный вектор, противоположный по направлению вектору Из формулы (4.103) следует формула (4.102).

Пример 1. Нормальную вектор-функцию отрезка оси абсцисс получим, если в формулу (4.102) подставим нормальную функцию этого отрезка по формуле (4.61):

Из формулы (4.104) находим

Таким образом

Согласно равенству (4.102) получим

Нормальная вектор-функция позволяет легко решать следующую задачу. Чертеж задан нормальным уравнением Требуется найти какую-нибудь точку, лежащую на данном чертеже (попасть на чертеж). Обычно такая задача решается так: выбирается какое-нибудь значение координаты х или у и подставляется в уравнение которое затем решается относительно другой координаты. Однако, при таком подходе могут встретиться значительные трудности, связанные с необходимостью решать уравнение, которое может быть весьма громоздкого вида. Если же воспользоваться формулой (4.102) и найти нормальную вектор-функцию то подставив в нее координаты какой-либо точки, получим вектор, соединяющий эту точку с точкой чертежа, т. е. чертеж для которого известна нормальная вектор-функция, легко может быть «обстрелян» точками.

Пример 2. Требуется выбрать какую-нибудь точку на черте же, имеющем следующую нормальную вектор-функцию:

Возьмем в качестве начальной точки точку 0 (0,0). Тогда получим

Следовательно, данному чертежу принадлежит точка (0,1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление