Главная > Математика > Геометрические приложения алгебры логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Условия взаимного непересечения выкроек

В процессе раскроя выкройки на материале должны располагаться таким образом, чтобы не было наложения одной выкройки на другую. На аналитическом языке это обстоятельство должно быть записано в виде условий взаимного непересечения выкроек. Если положение выкроек заданных каноническими уравнениями соответственно, определяется параметрами то условие их взаимного непересечения должно представиться в виде некоторых ограничений, накладываемых на параметры Если эти ограничения записаны в

форме каких-то равенств и неравенств, то рассмотренными выше методами их можно заменить единым неравенством. Поэтому условие взаимного непересеченйя выкроек можно считать заданным в виде

Наиболее просто написать условия взаимного непересечения окружностей.

Пример. Пусть даны круговые выкройки с радиусами Уравнения общего положения для этих выкроек имеют вид

Очевидно, что выкройки не будут пересекаться, если выполняется условие

т. е. расстояние между их центрами не меньше суммы их радиусов.

Составление условий непересеченйя выкроек в других случаях оказывается сложным.

В настоящем параграфе рассматривается некоторый общий прием, с помощью которого может быть построена функция Входной информацией для построения этой функции являются левые части канонических уравнений выкроек Располагая функциями и напишем уравнения общего положения выкроек

По определению, функции строятся таким образом, что в областях ( соответственно они положительны, а вне этих областей — отрицательны. Пусть есть пересечение областей и (52), т. е. Тогда функция

окажется положительной в области и отрицательной — вне Условие непересеченйя выкроек и

состоит в том, чтобы область состояла лишь из граничных точек или была пустым множеством. Очевидно, что если облает» и пересекаются, то

достигается в области и положителен. Поэтому условие взаимного непересечения выкроек можно записать так:

В гл. 3 было показано, что практически для всякой области ограниченной кусочно-гладкой кривой, может быть построена такая функция всюду непрерывная и дифференцируемая, что неравенство определяет область Поэтому можно считать, что функции а следовательно, и функции являются дифференцируемыми. Тогда функция (при окажется дифференцируемой внутри области и в точке ее максимума окажутся равными нулю ее частные производные

Таким образом, задача построения левой части неравенства (6.20) может быть сведена к решению системы уравнений (6.21) и (6.22). Рассмотренный метод построения условий взаимного непересечения выкроек хотя и является общим, его практическое использование сопряжено со значительными трудностями, так как при построении канонических уравнений выкроек необходимо позаботиться о том, чтобы функции были дифференцируемы, а это сопряжено с усложнением их формы.

Кроме того, система уравнений (6.21) и (6.22) является нелинейной и отыскание ее решения представляется весьма сложным. Правда, при работе на ЭЦВМ можно не заботиться о дифференцируемости функции

а находить значение функции пользуясь непосредственно формулой (6.20). При этом отыскание максимума функции может производиться одним из методов, рассмотренных в предыдущей главе. Особенно просто находится максимум функции когда выкройки и выпуклые. В этом случае нетрудно так построить что функция будет иметь единственный максимум, и его можно достичь, исходя из произвольной начальной точки. Если хотя бы одна из выкроек не выпуклая, то задача может оказаться многоэкстремальной, хотя в большинстве случаев можно дать оценку количества максимумов.

В заключение заметим, что так как максимум функции отыскивается лишь по двум переменным то при машинном счете может оказаться целесообразным использование метода полного перебора. Область в которой этот перебор должен быть произведен, можно найти следующим образом. Приняв плюс выкройки за центр, покроем выкройку кругом наименьшего возможного радиуса Этот круг покрывает некоторую область определяемую неравенством

Аналогично выкройку накроем кругом и запишем

Очевидно, что выкройки и могут пересекаться лишь при условии, если пересекаются круги причем, область представляющая собой пересечение областей принадлежит пересечению кругов

Условие того, что круги и не пересекаются, может быть записано в виде

Поэтому, если это условие выполнено, выкройки и не пересекаются и искать максимум функции

нет необходимости. Если же условие (6.25) нарушено, то следует искать максимум функции в области Согласно формулам (6.23) и (6.24) получим

Введем обозначение

где — область, определяемая неравенством (6 26). Тогда, если выполняется условие (6,25). выкройки не пересекаются. При невыполнении условия (6.25) выполняется условие

Рис. 42.

Рассмотрим некоторые другие способы составления условий взаимного непересеченйя выкроек, которые, несмотря на свой частный характер, могут оказаться полезными на практике.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление