Главная > Математика > Геометрические приложения алгебры логики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Пространственная контактная задача теории упругости

Многие пространственные контактные задачи теории упругости сводятся к задачам теории потенциала следующего вида.

Поверхность имеет форму плоской области (пластинки), расположенной в плоскости .

Необходимо найти функцию гармоническую всюду в пространстве вне поверхности которая исчезает на бесконечности и принимает в точках поверхности заданные значения Форма области соответствует форме области контакта с упругим полупространством, а уравнение определяет поверхность, ограничивающую штамп после вдавливания в полупространство. Таким образом, искомая функция должна удовлетворять условиям

Рис. 69.

После того, как будет найдена функция можно найти давление под штампом, вектор перемещений и тензор напряжений в упругом полупространстве. В частности, для давления имеет место формула

где модуль Юнга, коэффициент Пуассона материала, из которого изготовлено упругое полупространство.

Ограничимся рассмотрением важного частного случая, когда что соответствует задаче о штампах с плоским основанием. Зная решение задачи для штампа с плоским основанием, можно получить ряд интегральных характеристик для штампов той же формы в плане, но с различными поверхностями основания. Например, используя результаты В. И. Моссаковского [21], можно определить главный вектор и главный момент системы активных сил, приложенных к штампу.

Предположим, что известно уравнение

семейства (с параметром X) изопотенциальных поверх востей Так как функция принимает на

поверхности постоянные значения, равные то поверхность принадлежит к числу поверхностей этого семейства. Предположим, что поверхности соответствует значение параметра Так как каждому значению соответствует определенная изопотенциальная поверхность, а следовательно, и определенное значение параметра X, то можно считать, что X есть функция от . В силу принятого выше условия [параметру X соответствует поверхность (S)] получим, что .

Покажем, что если уравнение семейства изопотенциальных поверхностей задано, то функция может быть найдена с помощью квадратур.

Потребуем, чтобы функция определяемая как неявная функция переменных х, у и z из уравнения

была гармонической. Приравнивая нулю оператор Лапласа получим

Последнее уравнение можно привести к виду

где

В точках каждой из поверхностей семейства (7.50) последнее слагаемое в левой части уравнения (7.53) сохраняет постоянное значение. Поэтому функция

на каждой из поверхностей семейства (7.50) также имеет постоянное значение. Следовательно, уравнение (7.53) можно переписать в виде

или

Отсюда находим

Разделяя в уравнении (7.58) переменные и интегрируя, получим

где функция, которая определяется как неявная из уравнения (7.50). Постоянная может быть найдена из условия на бесконечности (7.48).

Изложенное выше решение задачи основывалось на том, что нам известно уравнение (7.50) семейства изопотенциальных поверхностей функции Однако, на практике это уравнение, как правило, заранее неизвестно. В каждом конкретном случае можно иметь лишь примерное представление о семействе изопотенциальных поверхностей.

Будем искать уравнение указанного семейства в виде

где функция, которая выбирается так, чтобы при уравнение было уравнением поверхности а при X — определяло бесконечно удаленную сферу. Методы, изложенные в гл. 3, позволяют составить уравнение (7.60) практически для любой поверхности

Пусть есть результат подстановки функции на место функций 9 в формулу (7.55). Если можно подобрать величины так, чтобы при любом X функция не зависела от х, у и z, то можно, учитывая предыдущие рассуждения, получить точное решение задачи. Если же этого сделать нельзя, то можно поставить вопрос о таком выборе этих величин, чтобы функция на поверхностях (7.60) наименее уклонялась (в некотором смысле) от постоянной.

Прихмер 1. Рассмотрим контактную задачу в случае, когда область есть круг единичного радиуса с центром в начале

координат. Поверхность представим как пересечение плоскости с эллипсоидом вращения Тогда уравнение семейства, включающее при поверхность можно записать в виде

С учетом формул (7.54) и (7.55) находим

где

Для того чтобы функция 0 не зависела от должны выполняться условия

Легко убедиться, что эти условия будут удовлетворяться, если Тогда функция 0 принимает вид

Воспользовавшись формулой (7.59), находим

где

Согласно формуле (7.49), давление под штампом

Таким образом, в рассмотренном примере удается получить точное решение контактной задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление