Главная > Вода, гидродинамика, гидромеханика > Проблемы гидродинамики и их математические модели
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 31. Подводный взрыв

С явлениями, происходящими при подводных взрывах, связан очень широкий круг задач, в которых участвуют неустановившиеся движения. Мы начинаем с рассмотрения двух вполне классических задач.

Схлопывание пузыря. Одним из первых вопросов, возникающих при изучении взрыва под водой, является вопрос о том, как изменяется с течением времени образовавшийся при взрыве газовый пузырь, который заполнен продуктами детонации ВВ.

В простейшей приближенной постановке задачу можно сформулировать так. Пусть сферический газовый пузырь переменного радиуса находится в безграничной несжимаемой жидкости с плотностью 1 и постоянным давлением Силой тяжести, вязкостью, а также поверхностным натяжением и конденсацией газов в пузыре мы пренебрегаем. Требуется найти закон изменения радиуса

Скорость движения жидкости, вызванного изменением радиуса пузыря, в данный момент времени зависит лишь от расстояния рассматриваемой точки от центра пузыря и равна Сравнивая расходы на границе пузыря и концентрической с ней сфере радиуса мы найдем

где некоторая функция времени. Это соотношение позволяет вычислить кинетическую энергию всей массы жидкости в момент

Будем считать, что в начальный момент жидкость находится в покое, пусть еще разность между давлением в жидкости и давлением газа внутри пузыря равна в силу наших предложений это — постоянная величина. Если не учитывать поверхностное натяжение, то

(знак минус объясняется тем, что у нас откуда интегрированием находим

Сравнивая это выражение с (2), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

а его интегрирование приводит к соотношению

из которого можно найти искомую зависимость

Из уравнения (4) следует, что при скорость R неограниченно возрастает как Это отражает тот факт, что в момент исчезания пузыря происходит гидравлический удар — мы имеем пример глобальной особенности, о которой говорилось выше. Описанный эффект называется охлопыванием пузыря.

Полагая в (5) мы находим время схлопывания:

Можно еще рассматривать пульсирующий пузырь, который после схлопывания расширяется до начальной величины. Последняя формула позволяет определить период колебаний такого пузыря:

Отметим, что в точной постановке задачи о движении газового пузыря, образовавшегося при подводном взрыве, следует учитывать влияние поверхности воды и силы тяжести, а давление в пузыре считать меняющимся по закону:

где объем пузыря в момент времени постоянные. Массой газа внутри пузыря и силами поверхностного натяжения можно пренебречь. В этой постановке в начальный момент поверхность воды можно считать плоской, а границу газового пузыря — сферой; дальнейшее изменение формы этих поверхностей находится из решения задачи.

Решение задачи о движении газового пузыря в такой точной постановке для начального этапа получил недавно Л. В. Овсянников [2]. О дальнейших этапах движения мы будем говорить ниже при обсуждении проблемы султана.

Шары Бьёркнесов. Пусть в безграничной жидкости, которую мы по-прежнему предполагаем несжимаемой (с плотностью 1) и невесомой, пульсируют два воздушных или газовых пузыря.

Рис. 101.

Еще в прошлом веке отец и сын Бьеркнесы обнаружили и объяснили интересное явление, связанное с этим экспериментом — оказывается, что если пузыри пульсируют в одинаковой фазе, то они притягиваются друг к другу, а если в противофазе, то отталкиваются.

Для объяснения этого явления нам понадобится следующий элементарный факт — шар, движущийся поступательно в безграничной жидкости, можно имитировать точечным диполем, расположенным в центре шара. В самом деле, пусть шар радиуса R движется со скоростью вдоль оси х. Потенциал скоростей этого движения представляет собой гармоническую вне шара функцию равную 0 на бесконечности и на поверхности шара удовлетворяющую условию (нормальная составляющая скорости, и 0 — цилиндрические координаты, см. рис. 101). Этим условиям, очевидно,

удовлетворяет функция а решение задачи единственно, следовательно, она и является искомым потенциалом. Мы видим, что вне шара она совпадает с потенциалом скоростей диполя, расположенного в начале координат: причем

Переходя к описанию явления Бьёркнесов, заменим пузыри точечными источниками интенсивностей расположенными соответственно в точках оси х, причем если пузыри пульсируют в одинаковой фазе, и если они пульсируют в противофазе. Чтобы учесть возможность перемещения центров пузырей, будем еще считать, что в тех же точках помещены диполи. Так как пузыри равноправны, достаточно изучить движение одного из них, скажем, того, который пульсирует в окрестности начала. Радиусы пузырей мы будем считать малыми в сравнении с а.

Если пренебречь влиянием диполя, расположенного в точке , то в точке М, близкой к началу координат, потенциал поля скоростей запишется в виде

где I — расстояние точки М до второго источника, а момент диполя (рис. 101). У нас и вблизи начала Поэтому (9) можно приближенно переписать в виде

или, если отбросить несущественное постоянное (при фиксированном слагаемое, в виде

Здесь первое слагаемое дает потенциал источника, расположенного в начале координат, второе —

потенциал другого источника (приближенно) и третье — потенциал диполя. Если обозначить через радиус пузыря, пульсирующего в окрестности начала, то скорость его изменения (которая определяется первым слагаемым) а поступательная скорость пузыря определяется третьим слагаемым; знак плюс объясняется тем, что речь идет о скорости пузыря, а не жидкости).

Воспользуемся теперь тем, что в силу нашего предположения о невесомости суммарное давление на пузырь должно быть равным нулю. По интегралу Коши давление в точке, близкой к началу,

При интегрировании по граничной сфере иузыря члены, не зависящие от 0 или пропорциональные сокращаются вследствие симметрии, поэтому ненулевой вклад в суммарное давление могут дать лишь члены

Условие обращения в нуль суммарного давления приводит, следовательно, к равенству

справедливому в любой момент времени

Остается учесть, что за полный период пульсирования пузыря суммарные эффекты изменения равны нулю. Но тогда, как видно из (12), суммарный эффект изменения за период величины а значит, и по знаку противоположен знаку Так как

поступательная скорость центра пузыря и то мы заключаем, что приращение за период пульсирования отрицательно при и положительно при Это и объясняет явление Бьёркнесов.

Отметим еще один вариант этого же явления. Как известно, влияние на источник твердой стенки в точности эквивалентно влиянию на него другого источника той же интенсивности, расположенного зеркально симметрично с первым источником относительно стенки.

Точно так же действие на источник свободной поверхности можно заменить действием симметричного источника, интенсивность которого противоположна по знаку интенсивности первого источника.

Рис. 102. (см. скан)

Поэтому приведенный выше анализ объясняет еще и следующий экспериментально наблюдаемый факт: газовый пузырь, пульсирующий в воде вблизи от твердой стенки, притягивается к стенке, а пузырек, который пульсирует вблизи свободной поверхности, отталкивается от нее.

Переходим к новым задачам.

Парадокс при подводном взрыве. Пусть в воду частично погружен полый цилиндр с толстыми (в 20 — 30 мм) стенками и тонким (в 1—3 мм) дном из железа или меди (рис. 102, а). При фиксированной глубине погружения Н на расстоянии h от дна цилиндра на его оси помещается заряд ВВ и производится подрыв. Для каждого h подбирается минимальный вес заряда, при котором дно разрушается.

Естественно ожидать, что функция строго возрастает, однако в многочисленных опытах наблюдался следующий парадоксальный факт: функция F строго возрастает, пока h не достигнет некоторого значения после этого на участке в два-три раза больше она остается практически постоянной; при величина F снова возрастает (рис. 102, б). Изменяется и характер разрушения дна — при дно прорывается на большой площади, а при прорыв резко локализован.

Приведем качественное объяснение этого парадокса. Опыты показывают, что эффект подводного взрыва ВВ делится на две стадии. На первой стадии, сразу после подрыва, продукты взрыва образуют газовый пузырь. От него прежде всего отходит ударная волна, которая уносит около половины энергии взрыва, а затем происходит нарастание скоростей жидкости и диаметр газового пузыря быстро увеличивается.

Рис. 103.

Если в конце этой стадии прорыва дна и выхода газов в атмосферу не произойдет, то наступает вторая стадия.

Газовый пузырь под действием атмосферного давления начнет сжиматься, удаляясь от дна цилиндра. Задачу о сжатии газового пузыря в воде мы рассматривали выше; следует только иметь в виду, что на практике форма его не сферическая, а грушевидная с расширением книзу. С течением времени пузырь сплющивается, образуя шапку с выемкой внизу, и потому схлопывание пузыря происходит на нижней его поверхности. Возникающий в момент схлопывания гидравлический удар приводит к струе, которая идет назад, к дну цилиндра (рис. 103). Эта струя имеет кумулятивный характер, энергия в ней сравнима с энергией пузыря на

первой стадии. При определенном весе F заряда струя пробивает небольшое отверстие в дне цилиндра.

Для прорыва на первой стадии процесса характерно строгое возрастание функции на второй стадии пробивная сила мало зависит от расстояния. Таким образом, качественную картину явления можно считать достаточно ясной, но сколько-нибудь полный количественный расчет пока еще не проведен.

Сферическая кумуляция. В предыдущей главе мы рассматривали движение кумулятивных струй как установившееся. Между тем большой интерес представляет также и процесс формирования струй, который является существенно неустановившимся.

Для простоты рассмотрим случай сферической кумуляции, где предполагается, что в начальный момент жидкость занимает нижнее полупространство с выемкой в форме полушара. Кроме того, считается, что при жидкость мгновенно становится тяжелой, а потенциальная функция и скорость частиц на свободной поверхности равны нулю.

Задача сводится к отысканию функции гармонической по пространственным координатам в переменной области равной 0 в бесконечности, а на границе (свободной поверхности жидкости) удовлетворяющей условию

которое с учетом соотношения

можно переписать виде

Приближенное решение этой задачи в плоском варианте можно получить методом

электрогидродинамических аналогий (ЭГДА) при помощи электропроводящей бумаги. Для этого нужно записать разностный аналог условия (13); если обозначить через индекс точки на свободной поверхности жидкости и через индекс шага по времени, то мы будем иметь

В начальный момент получаем распределение Ф на известной свободной поверхности:

Реализуя эти граничные условия на электропроводящей бумаге, мы сможем построить линии равного потенциала, а затем и линии тока для выбранных точек свободной поверхности. Далее можно найти скорости жидкости в этих точках, построить свободную поверхность в момент времени с индексом и по (14) найти новое распределение потенциала на этой поверхности. Это распределение снова реализуется на электропроводящей бумаге и процесс продолжается.

На рис. 104 изображена последовательная картина формирования кумулятивной струи под действием силы тяжести для моментов времени

Результаты получены В. Кедринским описанным выше методом.

На рис. 105 изображены кадры киносъемки повторения опыта Покровского (§ 29). Пробирка с водой, свободной поверхности которой придана сферическая форма при помощи стеклянного мениска (виден на первом кадре), бросается в вертикальном положении на стол. В момент удара жидкость мгновенно становится тяжелой, так что этот опыт можно рассматривать в связи

(кликните для просмотра скана)

с указанными выше расчетами по сферической кумуляции. Под кадрами на рис. 105 указано время, прошедшее с момента удара.

Рис. 105

Проблема султана. При некоторых условиях в результате подводного взрыва наблюдается интересное явление, которое получило название «султан» — над свободной поверхностью на большую высоту в виде узкого конуса выбрасывается вода (рис. 106). Отмечено, что

это явление характерно для жидкой среды и не наблюдается при подземных взрывах.

Укажем на некоторые особенности подводного взрыва. В предыдущем разделе мы уже говорили о двух этапах развития такого взрыва. Первый, очень короткий, этап характеризуется созданием ударной волны, на что уходит около половины всей энергии взрыва. В рассматриваемой здесь задаче волна выходит на свободную поверхность и откалывает некоторую массу воды. Отколотая масса распадается на большое число мелких брызг, каждая с небольшой энергией, а на свободной поверхности образуется воронка в форме впадины.

Рис. 106.

Второй этап связан с эволюцией газового пузыря, образовавшегося при взрыве, который тоже несет около половины энергии. Эта эволюция, как мы говорили, приводит к схлопыванию и образованию струи, которая (при надлежащих условиях взрыва, т. е. глубине заряда и его весе) выходит на свободную поверхность в момент, когда там образовалась воронка. На этом этапе можно пользоваться моделью потенциального течения несжимаемой жидкости - мы приходим к задаче определения поля скоростей, ортогонального поверхности воронки (задача о сферической кумуляции, о которой только что говорилось). В результате из воронки вырывается

кумулятивная струя, которая и дает султан — всплеск с довольно большой энергией.

Очень похожее явление (но, конечно, со значительно меньшей энергией) наблюдается при выстреле в воду пулей в направлении, перпендикулярном свободной поверхности (рис. 107). Другое проявление того же эффекта можно наблюдать, когда на спокойную воду падает редкий прямой дождь—поверхность воды покрывается тогда небольшими фонтанчиками, которые поднимаются навстречу дождю.

Рис. 107.

Качественное объяснение этих явлений ясно из рис.

108, где показаны три последовательные фазы входа вводу пули (или дождевой капли): сначала поверхность воды немного прогибается вниз (фаза а), затем падающее тело погружается в воду и за ним образуется полость (фаза б) и, наконец, кинетическая энергия тела идет на схлопывание полости. В результате этого схлопывания и возникает встречная струя, имеющая кумулятивный характер (фаза в).

Рис. 108.

Это объяснение подтверждается модификацией опыта — если стрелять пулей в воду не перпендикулярно к поверхности, а под некоторым углом, то после выстрела образуется наклонный султан в направлении навстречу движению пули (рис. 109). Здесь прогиб поверхности воды в фазе а будет несимметричным, полость в фазе будет двигаться в направлении полета пули, и кумулятивная струя в заключительной фазе пойдет не перпендикулярно к поверхности воды, а навстречу движению полости!

Взрыв в воздухе. Характерное отличие взрыва в воздухе от взрыва в воде состоит в том, что здесь основная часть энергии переходит в ударную волну. Исследования по распространению ударных волн в воздухе приобретают основное значение. До сих пор при проведении больших взрывных работ инженеры сталкиваются с непонятными явлениями — иногда действие ударной волны оказывается во много раз больше, а иногда во много раз меньше, чем то, которое было вычислено по хорошо проверенным формулам. Как правило, такие отклонения вызываются аномалиями в атмосфере, ибо как скорость акустической, так и скорость ударной волны зависит от состояния атмосферы (плотность, температура, влажность). Неоднородность атмосферы меняет фронт ударной волны — она. может уйти вверх, а может и прижаться к земле.

Рис. 109.

Как в воде, в воздухе могут создаваться своеобразные «волноводы», когда в некотором направлении затухание волн оказывается существенно меньше обычного (об этом явлении мы будем говорить ниже, в § 34).

Около лет назад среди гидродинамиков возникли острые споры по следующему вопросу. Пусть сферический заряд ВВ без оболочки в момент взрыва (в воздухе) имеет скорость V такую, что кинетическая энергия соизмерима с потенциальной энергией Е заряда или существенно больше ее; спрашивается, как скорость изменит эффект взрыва?

В споре были высказаны две крайние точки зрения: по одной скорость заряда в момент взрыва практически не должна влиять на эффект, параметры ударной волны могут измениться лишь на несколько процентов. По мнению других, скорость может увеличить эффект взрыва примерно в десять раз.

Решение этого спора оказалось довольно простым. Надо расчленить явление на два этапа — выделение энергии взрыва и формирование ударной волны. На первом этапе, в соответствии с точкой зрения одной из спорящих групп, скорость заряда практического влияния не оказывает, вся потенциальная энергия ВВ переходит в кинетическую энергию разлетающихся частиц продуктов взрыва. На втором этапе необходимо рассмотреть газовое облако, скорости частиц которого составлены из радиальной скорости (от центра заряда) и из поступательной скорости самого заряда.

Подсчеты и опыты показали, что эффект движущегося заряда (на достаточно большом расстоянии от места взрыва) эквивалентен эффекту неподвижного заряда с потенциальной энергией, равной сумме - потенциальной энергии ВВ и кинетической энергии заряда в момент взрыва. При этом нужно еще считать, что приведенный центр взрыва отнесен от фактического центра взрыва в направлении движения заряда на расстояние, определяемое кинетическои энергией и потенциальной энергией Е.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление