Главная > Вода, гидродинамика, гидромеханика > Проблемы гидродинамики и их математические модели
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 32. Пробивание при космических скоростях

В предыдущей главе мы довольно подробно рассмотрели явление пробивания брони кумулятивными струями, которые имеют скорости порядка и примерно в 10 раз больше артиллерийских. Гораздо менее изучена проблема пробивания при скоростях Трудности экспериментов при таких скоростях заставляют особенно четко формулировать гипотезы, лежащие в основе объяснения и расчета явлений.

Здесь будет рассмотрена модель несжимаемой среды, которая отражает существенные стороны процесса пробивания при очень больших скоростях и, с другой стороны, позволяет провести расчеты с достаточной полнотой [4].

Одномерный случай. Здесь предлагаемая схема особенно проста. Рассмотрим удар пластинки толщиной а, которая летит со скоростью о торец стержня длиной Толщину а будем считать малой в сравнении с I и для простоты письма предположим, что площадь поперечного сечения стержня, площадь пластинки, а также плотности пластинки и стержня равны 1. Задача состоит в определении импульса, который получит стержень в результате удара.

Пластинку-боек мы будем считать несжимаемой, абсолютно твердой, а тело представим как предельный случай стопки сложенных тонких и также абсолютно твердых пластинок, когда толщина пластинок стремится к нулю, а их число неограниченно возрастает так, что общая сумма толщин остается равной I (рис. 110).

Рис. 110.

При ударе (который мы считаем неупругим) бойка о первую пластинку сохранится количество движения и вследствие увеличения массы произойдет потеря кинетической энергии, то же самое будет происходить при вовлечении в движение каждой следующей пластинки. Произведем подсчет потери кинетической энергии системы вдоль стержня в предельном случае.

Пусть в рассматриваемый момент вовлечен в движение участок стержня длины х и пусть V — скорость стержня в этот момент. Когда в движение вовлекается следующий участок стержня толщиной то скорость изменится на величину которая по закону сохранения количества движения удовлетворяет соотношению

Решая это дифференциальное уравнение при очевидном начальном условии найдем распределение

скоростей вдоль стержня

Зная скорости, мы можем получить распределение энергии

где - начальная энергия бойка. Предположим, что при ударе вся потерянная энергия переходит в тепловую, тогда плотность распределения тепла вдоль стержня будет выражаться так:

Обозначим через минимальную плотность тепла, при которой вещество стержня переходит в газ. Тогда описанный выше процесс передачи энергии будет происходить лишь до тех пор, пока х не достигнет величины

В этот момент участок стержня лгкр превратится в газ. Образовавшийся газ, расширяясь, отделяется от оставшейся части стержня, а эта оставшаяся часть получает некоторый импульс

Займемся подсчетом величины причем для простоты ограничимся наиболее интересным случаем, когда В этом случае количество энергии, уходящей на превращение куска стержня в газ, мало сравнительно с начальной энергией бойка и можно считать, что вся энергия газа перейдет в его кинетическую энергию. В этом предположении скорость газового облака находится из равенства

Теперь задача свелась к чисто газодинамической Задаче. Ограничимся лишь самыми грубыми подсчетами в двух крайних случаях при следующих дополнительных предположениях.

а) Пусть при разлете газового облака все его частицы получают одинаковую скорость. Эта скорость тогда должна определяться из (5) и для импульса мы получим выражение

б) Пусть каждый слой газового цилиндра разлетается в направлении оси х независимо от других слоев. Тогда по формуле (3) импульс слоя на расстоянии х от торца цилиндра

а суммарный импульс

Пространственный случай. Имея в виду, например, образование кратеров при падении метеоритов на небесные тела, рассмотрим некоторую модификацию разобранной выше схемы.

Рис. 111.

Именно, предположим, что летящее тело представляет собой шарик и что оно ударяется о полусферическую выемку радиуса

Для упрощения расчетов придется еще более схематизировать модель. Мы будем считать, что задача сводится к удару тонкого полусферического слоя о толстый, который по аналогии с одномерным случаем будем представлять как набор тонких полусферических слоев, расположенных бесконечно близко друг к другу (рис. 111). Предположим, что во всех слоях скорости направлены по радиусам и что распределение скоростей происходит по схеме идеальной несжимаемой жидкости: в точке, удаленной от центра

слоя на расстояние скорость

где а — радиус внутренней выемки слоя-бойка и скорость этой выемки в момент соударения.

По аналогии с одномерным случаем будем считать, что в результате удара бойка в начальный период будет происходить наращивание его массы по схеме неупругих ударов, а кинетическая энергия системы переходить в тепло. Произведем расчеты, относящиеся к этому периоду, по-прежнему предполагая, что плотности бойка и среды, о которую он ударяется, равны 1.

Пусть будет внешний радиус поверхности бойка. Через мы обозначим скорость внутренней поверхности бойка в момент, когда эффект удара дойдет до полусферы радиуса очевидно, имеем

В силу принятого предположения о распределении скоростей, в этот момент скорость в точках, расположенных на расстоянии х от центра, будет равна

При изменении на величину скорость поверхности бойка изменится на величину причем в силу закона сохранения количества движения

Решая это дифференциальное уравнение при начальном условии (9), найдем

Формула (10) дает теперь распределение скоростей в полусферических слоях в рассматриваемый момент, и мы можем найти кинетическую энергию части слоя, по которой уже прошел удар:

Отсюда с учетом (11) легко находится плотность распределения тепла в слое:

или, если ввести начальную энергию бойка

Как и в одномерном случае, предположим, что в момент, когда тепло на единицу объема достигает величины часть слоя, по которой удар уже прошел, мгновенно превращается в газ. В среде, о которую ударился шарик, в этот момент образуется газовая полость радиуса где

Эта формула дает нижнюю границу радиуса воронки, которая образуется при ударе.

Для упрощения расчетов на втором периоде по-прежнему будем считать, что и допустим, что на превращение в газ указанной выше части среды затрачивается лишь небольшая часть энергии бойка. Далее предположим, что скорости всех частиц газового облака, образовавшегося в воронке, одинаковы. Величина этой скорости определяется из равенства откуда

Теперь легко вычисляется импульс, который получает тело при ударе о него шарика:

где Интересно отметить, что в принятой схеме импульс оказался зависящим от размеров ударяющего шарика.

Можно провести расчет и в другом крайнем случае, когда каждый элемент сферического слоя газа разлетается независимо от других элементов и сообщаемый им импульс направлен по нормали к сферической выемке (см. работу [4]).

Обобщение метода. Наиболее существенным пунктом описанного выше метода решения задачи о пробивании при космических скоростях является использование двух различных моделей среды: до тех пор, пока тепловая энергия процесса меньше некоторой критической величины, среда считается твердой и применяется схема неупругого удара; по достижении этой критической величины среда считается газом. Такое комбинирование различных моделей, выбираемых в соответствии с физическими условиями, может привести к решающему успеху и в других задачах.

Рассмотрим, например, задачи, связанные с воздействием на металлы или пластические среды (такие, как плотная глина) в малые промежутки времени импульсов большой величины. Здесь можно применять следующий метод, который является обобщением описанного в предыдущих пунктах. В качестве начального распределения скоростей деформации среды принимается то распределение, которое имело бы место, если среда являлась бы идеальной жидкостью. Дальнейший расчет ведется в предположении, что области среды, где скорости деформации не превосходят некоторой фиксированной заранее (в зависимости от вязкости) постоянной с, рассматриваются как твердые тела.

Мы получаем такую схему расчетов. Выбирается отрезок времени и по законам неустановившегося движения идеальной жидкости определяется изменение начального поля скоростей за этот отрезок. В полученном поле скоростей «замораживаются» (т. е. считаются твердыми телами) те зоны, где скорость деформации оказывается меньшей с; остальная часть среды считается идеальной жидкостью и в следующий отрезок времени. Счет ведется до тех пор, пока не окажется замороженной вся среда.

Этим методом хорошее совпадение с опытными данными можно получить, например, 1) в задаче о крешере: дан свинцовый цилиндр, стоящий на твердой

основе; на верхнем его конце подрывается заряд ВВ и требуется выяснить, во что превратится цилиндр после взрыва; 2) в задаче о форме полости, полученной при взрыве заряда эллипсоидальной формы в неограниченном массиве глины.

Рис. 112

В Институте гидродинамики Сибирского отделения АН СССР проведен ряд экспериментов, моделирующих падение метеоритов на небесные тела. Производились удары стальной частицей диаметром 1,7 мм по пластинкам из дунита различной толщины при скоростях

удара от 5 до 10,5 км/сек. Кратеры, образующиеся в результате удара, имеют диаметры в 7—8 раз больше диаметра частицы-ударника.

Рис. 113.

При скоростях на поверхности кратера остается несколько процентов вещества ударника, с ростом это количество уменьшается.

На рис. 112 показаны фотографии среза пластинок из дунита различной толщины после удара. На них хорошо виден эффект действия ударной волны, прошедшей

впереди частицы, — наличие этой волны и учитывают описанные выше схемы.

На рис. 113, а приведен график зависимости отношения глубины пробития к диаметру частицы-ударника от скорости удара для удара стального шара по свинцовой пластинке. В начальном диапазоне скоростей имеется характерный участок немонотонности. Такой же участок немонотонности наблюдался и при ударе стального шара по пластинке из легкого пористого материала — пенопласта с плотностью (рис. 113,б). Было бы интересно найти объяснение этого явления.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление