Главная > Математика > Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 24. Люки и резонансы

Периоды обращения большинства астероидов вокруг Солнца заключены между периодами обращения Марса и Юпитера, но заполняют это интервал крайне неравномерно. В 1887 году Кирквуд открыл «люки» (рис. 24) —

интервалы на оси периодов, Свободные от периодов астероидов. Люки соответствуют резонансам (соизмеримости периодов): один из люков находится вблизи половины периода Юпитера, другой вблизи 2/3, имеются люки, отвечающие резонансам 2/5, 3/5 и т. д.,— чем выше порядок резонанса, тем уже люк.

Рис. 24. Люки Кирквуда

Аналогичные люкам щели имеются в кольце Сатурна. Самая большая щель между кольцами А и В была замечена еще Кассини в XVII веке. На сделанных Вояджером-2 фотографиях (36) кольца В Сатурна (рис. 25) ясно видна тонкая структура: кольцо шириной 30000 км состоит из ряда более тонких колец, разделенных широкими щелями, каждое из тонких колец более узкими щелями разделено на еще более тонкие колечки и т. д. до колец, ширина которых, видимо, сравнима с толщиной — порядка километра.

Щели в кольце Сатурна соответствуют резонансам с его спутниками. Несколько лет назад при наблюдении с самолета покрытия звезды Ураном случайно были обнаружены его кольца. Анализ их резонансной структуры позволил советским астрономам Н. Н. Горькавому и А. М. Фридману (37) предсказать целую серию спутников Урана. Через полгода при пролете Вояджера-2 вблизи Урана 24 января 1986 года все эти спутники были обнаружены на предсказанных расстояниях от Урана — еще один триумф теории тяготения Ньютона.

В руках Эйлера, Лагранжа и Лапласа математические методы Ньютона получили огромное техническое развитие, и ко времени Леверье уже было достигнуто прекрасное согласие теории с наблюдениями. Но в идейном отношении все эти сложные вычисления оставались вариантами теории возмущений, созданной Ньютоном.

Рис. 25. Кольцо В Сатурна (участок около 6000 км, т. е. четверть ширины кольца В)

Двухсотлетний промежуток от гениальных открытий Гюйгенса и Ньютона до геометризации математики Рима-ном и Пуанкаре кажется математической пустыней, заполненной одними лишь вычислениями.

Пуанкаре, основатель топологии и современной теории динамических систем, поставил вопрос по-новому. Вместо отыскания формул, выражающих изменение положений небесных тел с течением времени, он задался вопросом о качественном поведении орбит: сближаются ли планеты, могут ли они падать на Солнце или уходить далеко от него и т. д. «Теорема» Лапласа не дает ответа на эти вопросы, относящиеся к бесконечному промежутку времени, поскольку его ряды, как установил Пуанкаре, расходятся.

С «Новых методов небесной механики» и «Analysis situs» (топологии) Пуанкаре (38) начинается новая —

качественная — математика, о применениях которой в небесной механике здесь можно сказать только несколько слов.

Оказалось, что в зависимости от начальных условий, движение в системе трех и более тел иногда регулярно, а иногда хаотично. Примером регулярного движения является планетное движение по эволюционирующему кеплерову эллипсу, медленно и мало меняющему свой эксцентриситет в течение бесконечного времени и медленно вращающемуся под действием возмущений, вечно оставаясь в слегка покачивающейся около неизменного положения плоскости, как предписывает приближенная теория Лапласа.

Примером хаотического движения является движение астероида вблизи люка Кирквуда (А. И. Нейштадт, Дж. Л. Теннисон и др. (39)) - резонансное взаимодействие с Юпитером проводит к «случайным», хаотическим изменениям эксцентриситета то в ту, то в другую сторону. Последовательные «скачки» эксцентриситета слабо зависимы. По законам теории вероятностей хаотически меняющийся эксцентриситет иногда становится большим, и тогда астероид может, например, упасть на Марс. Предполагается, что именно такой механизм «выметания» астероидов из люков Кирквуда привел за сотни миллионов лет к образованию люков (Висдом (39)). Хаотически меняется и орбита кометы Галлея (Б. В. Чириков, В. В. Вячеславов (40)).

Начальные условия регулярных и хаотических движений перемежаются (рис. 26) подобно рациональным и иррациональным числам (с той разницей, что вероятности как регулярного, так и хаотического поведения положительны, а вероятность того, что случайно выбранное число рационально, равна нулю). Таким образом, даже если движение планеты или астероида регулярно, достаточно сколь угодно малого возмущения начального состояния, чтобы сделать его хаотичным. К счастью, однако, скорость развития таких хаотических возмущений крайне мала, так что время, через которое скажется хаотичность, при достаточно малом возмущении начального состояния будет велико по сравнению с временем существования Солнечной системы (Н. Н. Нехорошев (41)). Так что за ближайший миллиард лет Солнечная система вряд ли существенно изменится и описанный Ньютоном «часовой механизм» будет продолжать исправно работать.

(кликните для просмотра скана)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление