Главная > Математика > Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Задача о падении тел

Вернемся к письму Ньютона. Он пишет далее, что, хоть и решил в таком почтенном возрасте не соперничать с более молодыми умами, он может предложить одну задачу, которая представляется ему достойной такого тонкого экспериментатора, как Гук. Эта задача — проверка учения Коперника, Как утверждает Коперник,

Земля движется вокруг Солнца, а кроме того, вращается вокруг собственной оси. Ньютон предлагает проверить экспериментально второе утверждение. Действительно, согласно галилееву принципу инваринтности, равномерно прямолинейное движение само по себе обнаружить невозможно, а вот вращение, в принципе, все-таки можно наблюдать. Поэтому, говорит Ньютон, чтобы убедить неверящих в теорию Коперника (признанную католической церковью, например, только в 1937 году), стоит попробовать проверить ее опытным путем. По-видимому, Ньютон первым поставил задачу об экспериментальном доказательстве вращения Земли. Более того, предлагая эту задачу Гуку, Ньютон указал способ, в принципе позволяющий это сделать.

Рис. 2. Траектория в невращающемся пространстве

Предложение Ньютона состоит в следующем. Бели Земля вращается, то предметы, свободно падающие с большой высоты, будут отклоняться от вертикали. Поэтому достаточно измерить отклонение падения тяжелых шаров от вертикального направления (устанавливаемого при помощи отвеса), чтобы обнаружить вращение Земли.

В самом деле, рассуждает Ньютон в этом письме, представим себе, что мы смотрим на Землю с Северного полюса и видим экватор и гору или, лучше, башню, с которой бросаются свободно падающие шары, покоящиеся в начальный момент относительно башни (рис. 2). Предположим, что Коперник прав, и Земля вращается с запада на восток. Невежда подумает, пишет далее Ньютон, что тогда, пока шар будет падать, Земля под ним повернется на восток и шар упадет западнее того места, над которым он находился первоначально.

Но такое мнение, часто выдвигаемое в качестве возражения против теории Коперника, совершенно неправильно. Ошибка состоит в том, что у шара в момент броска была ненулевая начальная скорость относительно «неподвижной» системы отсчета, направленная на восток. Более того, шар находился над Землей, поэтому эта скорость была больше, чем скорость точек на поверхности Земли. Но скорость шара в горизонтальном направлении не будет меняться во время его падения, так

что он пройдет в восточном направлении больший путь, чем точка поверхности, над которой он находился. Таким образом, шар должен упасть не западнее, а восточнее этой точки.

Если бросать шары не на экваторе, а на нашей широте, то эффект будет несколько меньше, но тем не менее, говорит Ньютон, обнаружить его было бы возможно. Конечно, эффект этот очень мал, поэтому Ньютон советует сделать следующее. Под точкой бросания строго по отвесу надо натянуть в направлении с севера на юг тонкую проволоку и бросать возможно более тяжелые шары, подвешивая их на нити и пережигая ее, чтобы избежать нежелательных начальных толчков. Тогда, если бросить шар достаточно много раз и подсчитать, сколько раз шар, ударившись о проволоку, отлетел на восток, а сколько раз — на запад, можно будет, сравнив эти два числа, определить, наблюдается ли тонкий эффект отклонения на восток, или нет.

Рис. 3. Траектория внутри Земли по Ньютону

В своем замечательном письме Гуку Ньютон затронул еще один вопрос. Он писал, что было бы очень интересно узнать, как двигался бы шар после достижения поверхности, если бы в Земле была шахта (т. е. шар свободно бы проходил сквозь Землю, не встречая сопротивления). Ньютон считает, что тогда шар бы описал спираль, и для наглядности приводит эту спираль в письме (рис. 3).

Гук прочитал письмо Ньютона на заседании Королевского общества 4 декабря 1679 года. Это вызвало бурную дискуссию, в которой приняли участие многие ученые. Все стали оживленно обсуждать, действительно ли можно наблюдать описанное Ньютоном явление и в какую сторону должны отклоняться шары. Например, королевский астроном Флемстид выступил, как зафиксировано в протоколах Общества, с заявлением, что эффект этот давно уже известен в артиллерии. А именно, по мнению Флемстида, ядро падает обратно в жерло при угле возвышения 87° (видимо, поэтому даже сейчас ограничители зенитных орудий не позволяют поднять ствол вверх на угод бодьше 87°). Это, по мнению Флемг

стида, свидетельствует о вращении Земли, ибо иначе опасный угол был бы 90°. Иными словами, Флемстид предложил несколько видоизменить предложение Ньютона. Вместо того чтобы бросать шары вниз, Флемстид предложил стрелять пушечными ядрами вертикально вверх и смотреть, будут ли они падать обратно.

Гук выступил на следующем заседании 11 декабря, сделав несколько критических замечаний по поводу рассуждений Ньютона, на что Ньютон, не переносивший ни малейшей критики, ответил 13 декабря длинным письмом, содержащим пространное обсуждение вопроса и ясно показавшим, что в это время Ньютон еще не знал, как на самом деле должна выглядеть траектория шара.

Во-первых, Гук сделал следующее замечание. Необходимо учитывать, что направление вертикали — направление к центру Земли — меняется при движении шара, поэтому сила тяжести в различных точках траектории направлена по-разному. Это приводит к тому, что движущийся к востоку шар будет испытывать влияние, отклоняющее его обратно на запад. Так что, хотя шар все-таки упадет восточнее точки отвеса, результирующее отклонение будет меньше того, которое предсказывал Ньютон.

Если мы, вооружившись нашими современными знаниями, аккуратно проделаем все вычисления, то увидим, что истинный эффект составляет 2/3 того отклонения, что должно было бы получиться у Ньютона (6). Таким образом, сдвиг к востоку за счет разности в расстояниях до центра Земли и сдвиг к западу, вызванный различием в направлении силы тяжести, — величины одного порядка, так что качественное рассуждение Ньютона вообще неверно. Ведь имей эти два эффекта — отклонение к востоку и отклонение к западу — несколько другое отношение, — и качественная картина была бы другой.

Во-вторых, Гук справедливо замечает, что в северном полушарии шар будет отклоняться не только к востоку, но также и к югу. Более того, он утверждает (по непонятной причине), что в наших широтах отклонение на юг будет даже больше, чем на восток.

Наконец, третье замечание Гука относится к траектории движения шара внутри Земли. Он говорит, что спираль, нарисованная Ньютоном, вызывает у него сомнения. По его мнению, внутри будет происходить приблизительно то же, что при колебании маятника

на веревке, и если шар будет свободно двигаться внутри Земли не испытывая сопротивления, то его траектория будет замкнутой и напоминающей эллипс (рис. 4), а спираль может получиться лишь с учетом сопротивления воздуха. Но и в этом случае спираль получится совсем не такая, как у Ньютона, — не делающая один виток, а медленно закручивающаяся, с большим количеством оборотов (рис. 5).

Рис. 4. Траектория внутри Земли по Гуку

Рис. 5. Учет сопротивления воздуха по Гуку

Действительно, если мы при помощи современных наших методов решим эту задачу, то увидим, что внутри Земли действует уже не закон всемирного тяготения, а закон Гука — сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию до центра Земли. Поэтому внутри траектория шара будет такой же, как при упругих колебаниях (или как у маятника), т. е. эллиптической.

Покритиковав Ньютона, Гук теоретическими рассуждениями не ограничился и решил все-таки произвести экспериментальную проверку. О ее результатах он доложил Обществу 18 декабря. Он организовал опыты несколько иначе и бросал шары не на проволоку, а на вощеную доску, расположенную под слоем воды, который должен был ослаблять силу удара. На доске была нанесена сеточка из тонких линий с центром под точкой подвеса для того, чтобы можно было по следу шара определить отклонение не только на запад или восток, но и в направлении север — юг. Шары бросались в соборе с высоты около 9 м при тщательно закрытых дверях и окнах, чтобы предохранить шар от вредного воздействия сквозняков. Если как следует все подсчитать, учтя турбулентность, то станет ясно, что при такой маленькой высоте никакого эффекта наблюдаться не может (теоретическое отклонение — 0,3 мм).

Но Гук был очень искусным экспериментатором. С тех пор ни у кого больше этот опыт не получался, но у Гука он «получился». Королевскому обществу Гук сообщил, что шар при трех испытаниях каждый раз отклонялся на юго-восток не менее чем на четверть дюйма. По-видимому, он не совсем владел статистическим анализом, и число испытаний было недостаточно велико. Кроме того, он, скорее всего, не проверил полученное отклонение по соответствующему уровню значимости и признал явление установленным, хотя ничего еще толком доказано не было. В начале 1680 года Гук повторил свои эксперименты и снова «успешно». Об их результатах он сообщил Ньютону в письме, посланном 6 января.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление