Главная > Математика > Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИМЕЧАНИЯ

(1)    Bennequin D. Caustique mistique // Seminaire Bour-baki.— Novembre 1984,— № 637,— P. 1—37.

(2) Злой Вольтер писал, что Ньютон обязан своей карьерой «не исчислению бесконечно-малых и гравитации, а красоте своей племянницы».

Любимая племянница Ньютона, в семье которой он провел последние двенадцать лет своей жизни, К. Бартон славилась не только красотой, но и умом. Биографы Ньютона сообщают, что она долгое время была домоправительницей ученика Ньютона, графа Монтегю Галифакса, поэта и крупнейшего государственного деятеля, члена регентского совета Англии, первого лорда казначейства и основателя Английского банка. После его смерти в 1715 году К. Бартон унаследовала от него значительное состояние. Ньютон же обязан лорду Галифаксу должностью смотрителя монетного двора. См. More Т. L. Isaac Newton. A Biography.- New York, London.: Charles Scribners sons, 1934,- 676 p.

(3) Закон этот называют также законом Бойля. Бойль, действительно, первым опубликовал его в 1660 году в своей книге, но со ссылкой на Гука, как на автора закона, не претендуя даже на соавторство.

(4) Однако уже в 1781 году Лагранж писал Даламберу о современной ему математике: «...я думаю также, что шахта становится слишком глубока и что ее придется рано или поздно бросить, если не будут открыты новые рудоносные жилы. Физика и химия представляют ныне сокровища гораздо более блестящие и легко эксплуатируемые, таким образом, по-видимому, все всецело обратились в эту сторону, и возможно, что места по геометрии в академии наук сделаются когда-нибудь тем, чем являются в настоящее время кафедры арабского языка в университетах.»

(5) Впоследствии, в 1694 году, Ньютон писал, что он открыл закон всемирного тяготения уже в 1665 или в 1666 году. Еще позже, в 1714 году, Ньютон датирует свой вывод эллиптичности орбит из закона обратных квадратов «1676 или 1677 годом». Однако ни в переписке 1679 года с Гуком, ни раньше, Ньютон о своих открытиях

в этой области не упоминал: он их не публиковал и никому о них не рассказывал. Ньютон объясняет это тем, что из-за неверного значения радиуса Земли, принятого им, вычисленные ускорения камня и Луны недостаточно точно укладывались в закон обратных квадратов. Первая публикация Гука о силе тяготения как возможной причине эллиптичности орбит относится к 1666 году.

(6) Рассуждение Ньютона, как нетрудно видеть, дает отклонение при падении с высоты на экваторе ускорение силы тяжести, — угловая скорость Земли). Расчет с учетом силы Кориолиса, дающий в полтора раза меньшее отклонение, приведен, например, на с. 90 учебника: Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984.- 272с.

Рис. 37. Вычисление предела

(7) Гюйгенс рассматривал системы сталкивающихся и расходящихся шаров, соединенных нитями или стержнями или катающихся в желобах, и доказывал, что центр тяжести системы никогда не подымется выше своего начального положения, если предоставить систему самой себе, отпустив шары без начальной скорости.

(8) Если графики несовпадающих аналитических функций касаются прямой в нуле (рис. 37), то отношения стремятся к единице, когда А стремится к нулю. Поэтому искомый предел отношения равен единице.

(см. скан)

пространстве определяется как семейство поверхностей, двойственных к поверхностям евклидова пучка квадрик с параметром При конфокальные «поверхности» — это эллипсы и гиперболы с общими фокусами.

(10) Вейнсток Р. Разоблачение вековой легенды: «Математические начала натуральной философии» Ньютона и орбиты при движении в поле центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния// Физика за рубежом — 1984. Сер. Б. - М.: Мир, 1984,- С. 178-207 (WeinstockR.// Amer. J. of Physics.- July 1982.- P. 610).

(11) Например, уравнение имеет решения с общим начальным условием

(12) С. 25 в «Методе флюксий» (Ньютон И. Математические работы.- М.; Л.: с.)

(13) Перед смертью Барроу сказал друзьям: «Наконец-то я уа-наю решение многих геометрических и астрономических вопросов. О, Господи, какой Ты геометр!»

(14) Фоменко А. Т. Глобальная хронологическая карта Химия и жизнь.- 1983.- Вып. 9.- С. 85—92.

(15) Свифт писал: «Мои враги распространяют слухи об И. Ньютоне, ремесленнике, изготавливающем инструменты... Говорят, что его слава затмит мою.»

(16) Исчисление бесконечно малых, С. 198 в книге: и Н. Очерки по истории математики.-М.: ИЛ, 1963.- 292 с.

(17) Современным математикам вообще трудно читать своих предшественников, которые писали: «Петя вымыл руки» там, где просто следовало сказать: «Существует такое, что образ Петя точки при естественном отображении Петя принадлежит множеству грязноруких и такое из полуинтервала что образ точки при том же отображении принадлежит дополнению к множеству, о котором шла речь при рассмотрении точки

(18)

(19) Ньютон был не безбожником, а скорее, тайным арианцем — еретиком, отрицавшим догмат Троицы. По словам биографов, он считал, что, кроме Христа, у Бога могут быть другие сыновья, через которых он открывает людям свои истины и, кажется, родившись вдобавок 25 декабря, всерьез считал себя одним из таких пророков. Ньютону принадлежат толкования Апокалипсиса и пророчеств Даниила; в частности, он предсказывал падение папского престола к 2000 году.

(20) Боголюбов А. Н. Роберт Гук. - М.: Наука, 1984.- 240 с. В этой книге на с. 55 хладниевы фигуры, образованные

скоплением песка вблизи нулей собственной функции колеблющейся горизонтальной пластинки (и открытые Гуком более чем за сто лет до Хладни), названы фигурами Лиссажу (последние в трудах Гука, кажется, пока еще не обнаружены).

(21) Ляшко О. В. Классификация критических точек функций на многообразии с особым краем// Фуннц. анализ и его приложения.- 1983.- Т. 17, вып. 3.- С. 20-36; Щербак О. П. Особенности семейства эвольвент и окрестности точки перегиба кривой и группа порожденная отражениями Функц. анализ и его приложения, 1983.- Т. 17, вып. 4,- С. 70-72; Щербак О. П. Волновые фронты и группы отражений, //УМН.- 1988.-Т. 43, вып. 3; Гивенталь А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения. - М.: 1986.- 94 с. (Деп. в ВИНИТИ от 5 июня 1986 г., № 4130 — В). Итоги науки. - 1988.- Т. 33.

(22) Степени инвариантов равны 2,6 и 10; инвариант степени 2 — это квадрат расстояния до начала координат, а инварианты степеней 6 и 10 получаются из 12 вершин и 20 граней икосаэдра (как произведения линейных функций, равных в вершинах и в центрах граней).

(23) См., например:

(24) Другой способ увидеть пятиугольную симметрию состоит в следующем. Рассмотрим «лестницу», состоящую из кубов объемлющего пространства с вершинами в точках целочисленной решетки, пересекающих изучаемое иррационально расположенное подпространство. Проекция границы лестницы на это подпространство определяет его разбиение на многогранники конечного числа типов, повторяющихся, однако, не периодически — так называемое разбиение Пенроуза. На рис. 38 изображено подобное разбиение плоскости с явными следами пятиугольной симметрии.

Между прочим, конструкция лестницы доставляет замощения плоскости разными ромбами, которые алгоритмически невычислимы (не могут быть построены никакой вычислительной машиной с конечной программой).

Действительно, лестница из кубов трехмерного пространства, пересекающих иррационально расположенную плоскость, — бесконечный многогранник с квадратными гранями трех направлений, образующими две ограничивающие многогранник сверху и снизу поверхности — крышки. Спроектируем верхнюю крышку на исходную иррационально расположенную плоскость вдоль диагонали куба. Три смежные грани куба снроектируются в три параллелограмма, аффинно эквивалентные трем ромбам одинаковой величины с общей вершиной угла в 120° (рис. 39).

(кликните для просмотра скана)

Все грани верхней крышки спроектируются в параллельно перенесенные параллелограммы, однократно заполняющие всю плоскость. Упомянутое аффинное преобразование превратит все эти параллелограммы в ромбы.

Направление исходной плоскости определяется полученным замощением. Но направлений континуум, а программ счетное множество. Значит, некоторые из полученных замощений (и даже почти все они) невычислимы.

Рис. 40. Построение квазипериодического разбиения Пенроуза по марковскому разбиению тора

Описанные выше разбиения Пенроуза квазипериодичны. Квазипериодические разбиения Пенроуза получаются из разбиения тора на призмы с основаниями, параллельными иррациональному подпространству, на котором и высекается квазипериодическое разбиение. Такое разбиение двумерного тора изображено на рис. 40 (аналогичные разбиения встречаются в эргодической теории в качестве так называемых марковских разбиений, введенных Я. Г. Синаем).

Построенные выше (при помощи «лестниц») разбиения Пенроуза также высекаются из разбиений торов на призмы с параллельными основаниями. Так что конструкция с призмами может рассматриваться как обобщение конструкции с лестницей.

Квазипериодическое разбиение Пенроуза — это разбиение иррационального подпространства на множества уровня специальной квазипериодической функции с конечным числом значений. Эта функция получается при ограничении на иррациональное подпространство функции с конечным числом значений на торе, постоянной

на призмах с параллельными подпространству основаниями. Назовем такие квазипериодические функции функциями Пенроуза. Любую непрерывную функцию на торе любой размерности можпо с любой точностью аппроксимировать функцией с конечным числом значений, постоянной на призмах с параллельными данному направлению (любой размерности) основаниями. Поэтому любую квазипериодическую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать квазипериодической функцией Пенроуза такой же периодичности (высекаемой тем же иррациональным подпространством, что исходная функция).

Рис. 41. Стохастическая паутина

Отсюда ясно, что узор, который мы видим, рассматривая квазипериодическую функцию (ее линии уровня, сеть особых точек и т. п.), всегда должен напоминать разбиение Пенроуза. При этом, если исходная функция имела какую-либо симметрию, то и аппроксимирующее разбиение Пенроуза (построенное по какому-либо естественному алгоритму) будет иметь ту же симметрию.

Таким образом, мы получаем еще один способ порождения квазикристаллических структур: достаточно начать с квазипериодической функции с нужной симметрией и переработать ее в разбиение каким-либо естественным алгоритмом.

Следующий пример этого рода обнаружен Г. М. Заславским» М. Ю. Захаровым, Р. 3. Сагдеевым, Д. А. Усиковым и А. А. Черниковым (Стохастическая паутина и диффузия частиц в магнитном поле ; Генерация

упорядоченных структур с осью симметрии из гамильтоновской динамики. Письма в при анализе резонансного взаимодействия частиц с волной в плазме, помещенной во внешнее магнитное поле.

Рассмотрим преобразование плоскости в себя, заданное формулой где А — поворот на угол а Вычислительный эксперимент показывает, что при подходящем выборе начальной точки образы этой точки при многократном повторении преобразования Г заполняют сеть из тонких при малых линий — «стохастическую паутину» с симметрией порядка 5, выглядящую издалека подобно разбиению Пенроуза (рис.

Объяснение состоит в следующем. При отображение оставляет все точки плоскости на месте. Поэтому при малом каждая точка под действием отображения сдвигается на малое расстояние порядка . С другой стороны, отображения а значит и Т, сохраняют площади. Поэтому отображение с точностью до малых порядка представляет собой преобразование за время в фазовом потоке, заданном некоторой функцией Гамильтона по обычной формуле

Вычисления показывают, что функция Гамильтона имеет вид

где линейная функция на плоскости, равная скалярному произведению радиус-вектора точки с радиус-вектором вершины правильного -угольника с центром в начале координат. Эта функция Н квазипериодична и имеет симметрию порядка высекается из суммы косинусов, заданной на -мерном торе, при вложении а двумерной плоскости в -мерный тор в виде иррационального пространства неприводимого представления циклической группы порядка

Функция Гамильтона Н является первым интегралом системы уравнений Гамильтона. Поэтому при повторении отображения точка плоскости будет оставаться на той же линии уровня функции Н, где лежала начальная точка (по меньшей мере в первом приближении теории возмущений по ).

Итак, наблюдаемая стохастическая паутина близка к линии уровня квазипериодической функции Н, имеющей очевидную симметрию порядка Этим и объясняется сходство паутины с квазикристаллическим разбиением Пенроуза с симметрией порядка

Непосредственное изучение линий уровня функции Н порождает такие же квазикристаллические структуры на плоскости,

что и повторение преобразования Т, порождающего стохастическую паутину.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление