Главная > Математика > Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§ 7. Анализ как теория степенных рядов

Ньютон открыл способ решения любых уравнений, причем не только дифференциальных, но и, например, алгебраических. Это открытие он считал самым важным своим достижением и именно его закодировал в письме к Лейбницу 24 октября 1676 года (посланном через

Ольденбурга и потому вошедшим в историю под названием «Второе письмо к Ольденбургу» (epistola posterior)), в котором он описал анализ.

Анализ — это довольно трудно определяемое понятие. Ньютон понимает под анализом исследование уравнений при помощи бесконечных рядов. Основное открытие Ньютона, иными словами, заключается в том, что все надо раскладывать в бесконечные ряды. Поэтому, когда ему приходилось решать уравнение, будь то дифференциальное уравнение или, скажем, соотношение, определяющее некоторую неизвестную функцию (теперь это называли бы одним из видов теоремы о неявной функции), Ньютон действовал по следующему рецепту. Все функции раскладываются в степенные ряды, ряды подставляются друг в друга, приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях и один за другим находятся коэффициенты неизвестной функции. Теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений этим способом доказывается мгновенно заодно с теоремой о зависимости от начальных условий, если только не заботиться о сходимости получающихся рядов. Что касается сходимости, то ряды эти сходятся настолько быстро, что Ньютон, хотя сходимости строго и не доказывал, в ней не сомневался. Он владел понятием сходимости и явно вычислял ряды для конкретных примеров с огромным числом знаков (в том же письме Лейбницу Ньютон пишет, что ему «просто стыдно признаться», с каким числом знаков он проделал эти вычисления). Он заметил, что его ряды сходятся как геометрическая прогрессия и потому сомнений в сходимости его рядов у него не было. Вслед за своим учителем Барроу, Ньютон сознавал, что анализ допускает обоснование, но совершенно справедливо не считал полезным на нем задерживаться («Можно было бы удлинить апагогическим рассуждением,-писал Барроу,-но для чего?»).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление